Questão 4. (a) Mostre que o momento de inércia de uma barra fina, homogênea, de massa M e comprimento L, calculado em relaçio a um eixo perpendicular à barra passando pelo centro é dado por I_{C M}=M L^{2} / 12. (b) Calcule o momento de inércia de uma régua de un metro, com uma massa de 0,50 \mathrm{~kg}, em relação a um cixo perpendicular à régua na marca de 20 cm . (Trate a régua como uma barra fina.)

Passo 1

O enunciado pede (a) a demonstração do momento de inércia de uma barra fina homogênea de massa M e comprimento L em torno de um eixo perpendicular à barra que passa pelo seu centro de massa, e (b) o cálculo numérico desse momento de inércia para uma régua de 1{,}00 m e massa 0,50 kg em torno de um eixo perpendicular na marca de 20 cm. Para (a) vamos usar a definição
I_{CM}=\int r^{2}\,dm
com densidade linear uniforme, e para (b) aplicaremos o teorema dos eixos paralelos (Steiner).

Passo 2

Definimos a densidade linear
\lambda=\frac{M}{L}
e usamos um elemento de massa dm=\lambda\,dx, tomando a origem no centro da barra e x\in[-L/2,L/2]. Assim
I_{CM} =\int_{-L/2}^{L/2}x^{2}\,dm =\int_{-L/2}^{L/2}x^{2}\,\lambda\,dx =\frac{M}{L}\int_{-L/2}^{L/2}x^{2}\,dx.
Como
\int_{-L/2}^{L/2}x^{2}\,dx =\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-L/2}^{L/2} =\frac{(L/2)^{3}-(-L/2)^{3}}{3} =\frac{L^{3}}{12},
vem
I_{CM}=\frac{M}{L}\cdot\frac{L^{3}}{12} =\frac{M\,L^{2}}{12}.

Passo 3

Pelo teorema dos eixos paralelos, o momento de inércia em torno de um eixo deslocado de distância d do centro de massa é
I=I_{CM}+M\,d^{2}.

Passo 4

No caso da régua, L=1{,}00 m, M=0,50 kg e o eixo está na marca de 20 cm, isto é, a d=|0{,}50-0{,}20|=0{,}30 m do centro. Portanto
I =\frac{M\,L^{2}}{12}+M\,d^{2} = \frac{0{,}50\cdot (1)^{2}}{12}+0{,}50\cdot(0{,}30)^{2}.

Passo 5

Calculando numericamente:
\frac{0{,}50\cdot1}{12}=0{,}0417\quad\text{e}\quad 0{,}50\cdot0{,}30^{2}=0{,}0450,
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I=0{,}0417+0{,}0450=0{,}0867\;\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\approx0{,}087\;\text{kg}\cdot\text{m}^{2}.

Resposta

(a) \displaystyle I_{CM}=\frac{M\,L^{2}}{12}.
(b) \displaystyle I\approx0{,}087\;\mathrm{kg\cdot m^{2}}.

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