Questão 4. (a) Mostre que o momento de inércia de uma barra fina, homogênea, de massa M e comprimento L, calculado em relaçio a um eixo perpendicular à barra passando pelo centro é dado por
. (b) Calcule o momento de inércia de uma régua de un metro, com uma massa de
, em relação a um cixo perpendicular à régua na marca de 20 cm . (Trate a régua como uma barra fina.)
Passo 1
O enunciado pede (a) a demonstração do momento de inércia de uma barra fina homogênea de massa
e comprimento
em torno de um eixo perpendicular à barra que passa pelo seu centro de massa, e (b) o cálculo numérico desse momento de inércia para uma régua de
m e massa
kg em torno de um eixo perpendicular na marca de
cm. Para (a) vamos usar a definição
com densidade linear uniforme, e para (b) aplicaremos o teorema dos eixos paralelos (Steiner).
Passo 2
Definimos a densidade linear
e usamos um elemento de massa
, tomando a origem no centro da barra e
. Assim
Como
vem
Passo 3
Pelo teorema dos eixos paralelos, o momento de inércia em torno de um eixo deslocado de distância
do centro de massa é
Passo 4
No caso da régua,
m,
kg e o eixo está na marca de
cm, isto é, a
m do centro. Portanto
Passo 5
Calculando numericamente:
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Resposta
(a)
(b)
(b)