Duas cargas puntiformes estão fixas no espaço:
Um ponto
encontra-se a 2 m de
e 1 m de
.
Explique por que, no cálculo do potencial elétrico de várias cargas, utilizamos soma algébrica simples, enquanto no cálculo do campo elétrico é necessário considerar a natureza vetorial.
Explique por que, no cálculo do potencial elétrico de várias cargas, utilizamos soma algébrica simples, enquanto no cálculo do campo elétrico é necessário considerar a natureza vetorial.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
- Cargas pontuais:
-
. -
.
-
- Distâncias do ponto
até as cargas: -
(distância de a ). -
(distância de a ).
-
- Pergunta principal: explique por que, ao calcular o potencial elétrico total de várias cargas, usamos soma algébrica simples (soma de escalares), enquanto ao calcular o campo elétrico precisamos levar em conta a natureza vetorial (somar vetores).
Observação: o enunciado não dá a disposição geométrica exata das cargas no espaço (ou seja, não diz se
e
estão em linha reta ou não). Para a parte conceitual não é necessário saber isso. Para exemplificar numericamente como essa diferença aparece na prática, vou fazer um exemplo simples e legítimo: assumirei uma configuração colinear (uma linha) com
em
,
em
e
em
. Essa escolha satisfaz as distâncias dadas (
m e
m) e permite calcular explicitamente o potencial escalar e o campo vetorial em
. Vou deixar claro quando essa hipótese é usada.
Passo 2
O que é potencial elétrico e por que ele é escalar?
- Definição práctica: o potencial elétrico criado por uma carga pontual
em uma distância é dado por
onde
.
- Significado:
é trabalho por unidade de carga (energia por carga) para levar uma carga de prova desde uma referência (infinito) até o ponto. É uma quantidade escalar: não tem direção, só valor (positivo, negativo ou zero). - Superposição para potenciais: o princípio da superposição diz que o potencial total devido a várias cargas é a soma aritmética (escalares) das contribuições individuais:
Isso vale independentemente da orientação espacial das cargas, porque cada
já é um número (positivo ou negativo) e soma-se like com like.
Vou calcular os
em
usando os dados:
- Converter cargas:
, . - Potenciais individuais:
- Soma algébrica:
Interpretação: as contribuições escalarmente se cancelam exatamente. Isso é perfeitamente possível porque sinais (positivos/negativos) entram diretamente na soma escalar.
Passo 3
O que é campo elétrico e por que ele é vetorial?
- Definição prática: o campo elétrico criado por uma carga pontual
a uma distância é
onde
é o versor (vetor unitário) apontando do ponto onde está a carga para o ponto onde se avalia o campo. Aqui
tem magnitude e direção.
- Sinal e direção: a direção depende do sinal de
: - Se
, aponta para fora da carga (repulsão). - Se
, aponta para a carga (atração).
- Se
- Superposição vetorial: o campo total é a soma vetorial das contribuições:
Aqui não se somam apenas os valores numéricos — deve-se somar vetores, o que leva em conta direção (ângulos) e sentido. Quando as direções não coincidem, decompor componentes e somar componente a componente.
Passo 4
Exemplo numérico (assumindo disposição colinear indicada no Passo 1) para mostrar a diferença na prática:
- Configuração assumida: eixo
com em , em e em . Assim , . - Calcular magnitudes:
- Direções (na configuração assumida):
-
gera em apontando para a direita ( ), porque o campo sai de . -
gera em apontando para a direita também ( ), porque o campo aponta em direção à carga negativa.
-
- Soma vetorial (aqui é soma em uma única direção, então soma das magnitudes com sinal):
Observação importante: se a geometria fosse diferente (por exemplo
do outro lado das duas cargas, ou em posição não colinear), as direções de
e
poderiam ser opostas ou formar ângulo; aí seria preciso decompor as componentes e somar componente a componente — o princípio é o mesmo, mas é obrigatório tratar vetores.
Passo 5
Resumo conceitual simples e conclusão didática (por que usamos soma algébrica para potenciais e soma vetorial para campos):
- O potencial
é uma grandeza escalar (energia por unidade de carga). Cada carga contribui com um número . A superposição diz para somar esses números; sinais já estão embutidos em . Não há direção para somar, por isso “soma algébrica simples”. - O campo
é uma grandeza vetorial: para cada carga há uma magnitude e uma direção (para fora ou para dentro). A superposição diz para somar vetores, e a soma vetorial exige considerar ângulos e sentidos. Por isso não basta somar valores absolutos: é preciso somar componentes vetoriais. - Relação entre as duas grandezas:
(em linguagem simples: o campo é o “declive” ou a direção e taxa de queda do potencial). Mesmo quando o potencial total em um ponto é zero (como no exemplo), o campo pode não ser zero — porque o campo depende de como varia no espaço (diferenças locais), não apenas do valor absoluto em um ponto.
Resposta
Porque o potencial elétrico é uma quantidade escalar: cada carga contribui com um número
e o potencial total é a soma aritmética dessas contribuições; já o campo elétrico é vetorial: cada carga produz um vetor
e o campo total é a soma vetorial dessas contribuições (é preciso levar em conta direção e sentido).
.
Assumindo as posições colineares em
,
em
,
em
:
.
Assumindo as posições colineares