Duas cargas puntiformes estão fixas no espaço:
\begin{gathered} Q_{1}=4 \mu C \\\ Q_{2}=-2 \mu C \end{gathered}
Um ponto P encontra-se a 2 m de Q_{1} e 1 m de Q_{2}.
Explique por que, no cálculo do potencial elétrico de várias cargas, utilizamos soma algébrica simples, enquanto no cálculo do campo elétrico é necessário considerar a natureza vetorial.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Cargas pontuais:
    • Q_{1}=4\\ \mu\text{C}.
    • Q_{2}=-2\\ \mu\text{C}.
  • Distâncias do ponto P até as cargas:
    • r_{1}=2\\ \text{m} (distância de P a Q_{1}).
    • r_{2}=1\\ \text{m} (distância de P a Q_{2}).
  • Pergunta principal: explique por que, ao calcular o potencial elétrico total de várias cargas, usamos soma algébrica simples (soma de escalares), enquanto ao calcular o campo elétrico precisamos levar em conta a natureza vetorial (somar vetores).
Observação: o enunciado não dá a disposição geométrica exata das cargas no espaço (ou seja, não diz se Q_{1},Q_{2} e P estão em linha reta ou não). Para a parte conceitual não é necessário saber isso. Para exemplificar numericamente como essa diferença aparece na prática, vou fazer um exemplo simples e legítimo: assumirei uma configuração colinear (uma linha) com Q_{1} em x=0, P em x=2\\ \text{m} e Q_{2} em x=3\\ \text{m}. Essa escolha satisfaz as distâncias dadas ( 2 m e 1 m) e permite calcular explicitamente o potencial escalar e o campo vetorial em P. Vou deixar claro quando essa hipótese é usada.

Passo 2

O que é potencial elétrico e por que ele é escalar?
  • Definição práctica: o potencial elétrico criado por uma carga pontual Q em uma distância r é dado por
V=\dfrac{k\,Q}{r},
onde k=9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • Significado: V é trabalho por unidade de carga (energia por carga) para levar uma carga de prova desde uma referência (infinito) até o ponto. É uma quantidade escalar: não tem direção, só valor (positivo, negativo ou zero).
  • Superposição para potenciais: o princípio da superposição diz que o potencial total devido a várias cargas é a soma aritmética (escalares) das contribuições individuais:
V_{\text{total}}=\sum_{i} V_{i}=\sum_{i} \dfrac{k\,Q_{i}}{r_{i}}.
Isso vale independentemente da orientação espacial das cargas, porque cada V_{i} já é um número (positivo ou negativo) e soma-se like com like.
Vou calcular os V_{i} em P usando os dados:
  • Converter cargas: Q_{1}=4\\ \mu\text{C}=4\times10^{-6}\\ \text{C}, Q_{2}=-2\\ \mu\text{C}=-2\times10^{-6}\\ \text{C}.
  • Potenciais individuais:
V_{1}=\dfrac{k\,Q_{1}}{r_{1}}=\dfrac{9{,}0\times10^{9}\cdot 4\times10^{-6}}{2} = \dfrac{36\times10^{3}}{2}=18\times10^{3}=1{,}8\times10^{4}\\ \text{V}.
V_{2}=\dfrac{k\,Q_{2}}{r_{2}}=\dfrac{9{,}0\times10^{9}\cdot(-2)\times10^{-6}}{1} = -18\times10^{3}=-1{,}8\times10^{4}\\ \text{V}.
  • Soma algébrica:
V_{\text{total}}=V_{1}+V_{2}=1{,}8\times10^{4}+(-1{,}8\times10^{4})=0\\ \text{V}.
Interpretação: as contribuições escalarmente se cancelam exatamente. Isso é perfeitamente possível porque sinais (positivos/negativos) entram diretamente na soma escalar.

Passo 3

O que é campo elétrico e por que ele é vetorial?
  • Definição prática: o campo elétrico criado por uma carga pontual Q a uma distância r é
\mathbf{E}=\dfrac{k\,Q}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}},
onde \hat{\mathbf{r}} é o versor (vetor unitário) apontando do ponto onde está a carga para o ponto onde se avalia o campo. Aqui \mathbf{E} tem magnitude e direção.
  • Sinal e direção: a direção depende do sinal de Q:
    • Se Q>0, \mathbf{E} aponta para fora da carga (repulsão).
    • Se Q<0, \mathbf{E} aponta para a carga (atração).
  • Superposição vetorial: o campo total é a soma vetorial das contribuições:
\mathbf{E}_{\text{total}}=\sum_{i}\mathbf{E}_{i}=\sum_{i}\dfrac{k\,Q_{i}}{r_{i}^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}_{i}.
Aqui não se somam apenas os valores numéricos — deve-se somar vetores, o que leva em conta direção (ângulos) e sentido. Quando as direções não coincidem, decompor componentes e somar componente a componente.

Passo 4

Exemplo numérico (assumindo disposição colinear indicada no Passo 1) para mostrar a diferença na prática:
  • Configuração assumida: eixo x com Q_{1} em x=0, P em x=2\\ \text{m} e Q_{2} em x=3\\ \text{m}. Assim r_{1}=2\\ \text{m}, r_{2}=1\\ \text{m}.
  • Calcular magnitudes:
E_{1}=\dfrac{k|Q_{1}|}{r_{1}^{2}}=\dfrac{9{,}0\times10^{9}\cdot 4\times10^{-6}}{2^{2}} = \dfrac{36\times10^{3}}{4}=9{,}0\times10^{3}\\ \text{N/C}.
E_{2}=\dfrac{k|Q_{2}|}{r_{2}^{2}}=\dfrac{9{,}0\times10^{9}\cdot 2\times10^{-6}}{1^{2}} =18\times10^{3}=1{,}8\times10^{4}\\ \text{N/C}.
  • Direções (na configuração assumida):
    • Q_{1}>0 gera \mathbf{E}_{1} em P apontando para a direita ( +\hat{\mathbf{x}}), porque o campo sai de Q_{1}.
    • Q_{2}<0 gera \mathbf{E}_{2} em P apontando para a direita também ( +\hat{\mathbf{x}}), porque o campo aponta em direção à carga negativa.
  • Soma vetorial (aqui é soma em uma única direção, então soma das magnitudes com sinal):
\mathbf{E}_{\text{total}}=E_{1}\,\hat{\mathbf{x}}+E_{2}\,\hat{\mathbf{x}}=(9{,}0\times10^{3}+1{,}8\times10^{4})\,\hat{\mathbf{x}} =2{,}7\times10^{4}\,\hat{\mathbf{x}}\\ \text{N/C}.
Observação importante: se a geometria fosse diferente (por exemplo P do outro lado das duas cargas, ou em posição não colinear), as direções de \mathbf{E}_{1} e \mathbf{E}_{2} poderiam ser opostas ou formar ângulo; aí seria preciso decompor as componentes e somar componente a componente — o princípio é o mesmo, mas é obrigatório tratar vetores.

Passo 5

Resumo conceitual simples e conclusão didática (por que usamos soma algébrica para potenciais e soma vetorial para campos):
  • O potencial V é uma grandeza escalar (energia por unidade de carga). Cada carga contribui com um número kQ/r. A superposição diz para somar esses números; sinais já estão embutidos em Q. Não há direção para somar, por isso “soma algébrica simples”.
  • O campo \mathbf{E} é uma grandeza vetorial: para cada carga há uma magnitude k|Q|/r^{2} e uma direção (para fora ou para dentro). A superposição diz para somar vetores, e a soma vetorial exige considerar ângulos e sentidos. Por isso não basta somar valores absolutos: é preciso somar componentes vetoriais.
  • Relação entre as duas grandezas: \mathbf{E}=-\nabla V (em linguagem simples: o campo é o “declive” ou a direção e taxa de queda do potencial). Mesmo quando o potencial total em um ponto é zero (como no exemplo), o campo pode não ser zero — porque o campo depende de como V varia no espaço (diferenças locais), não apenas do valor absoluto em um ponto.

Resposta

Porque o potencial elétrico é uma quantidade escalar: cada carga contribui com um número V_{i}=kQ_{i}/r_{i} e o potencial total é a soma aritmética dessas contribuições; já o campo elétrico é vetorial: cada carga produz um vetor \mathbf{E}_{i}=kQ_{i}r_{i}^{-2}\hat{\mathbf{r}}_{i} e o campo total é a soma vetorial dessas contribuições (é preciso levar em conta direção e sentido).
V_{\text{total}}=0\\ \text{V}.
Assumindo as posições colineares Q_{1} em x=0, P em x=2\\ \text{m}, Q_{2} em x=3\\ \text{m}: \mathbf{E}_{\text{total}}=2{,}7\times10^{4}\,\hat{\mathbf{x}}\\ \mathrm{N/C}.

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