Uma partícula de 0.4 kg executa MHS com amplitude 12 cm e frequência angular 8 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Calcule:
(a) A energia mecânica total
(b) A posição quando a energia cinética é igual à energia potencial

Passo 1

O enunciado descreve um movimento harmônico simples de uma partícula de massa m=0,4,kg, amplitude A=12,cm e frequência angular \omega=8,rad/s. Preciso calcular:
(a) a energia mecânica total do sistema;
(b) a posição x em que a energia cinética é igual à energia potencial.

Passo 2

Na teoria do MHS, a energia mecânica total é constante e dada por
E = \tfrac12\,k\,A^2,
sendo k=m\,\omega^2. Substituindo k em termos de m e \omega, fica
E = \tfrac12\,m\,\omega^2\,A^2.

Passo 3

Substituindo os valores numéricos ( A=0{,}12,m):
E = \tfrac12 \times 0,4 \times 8^2 \times (0,12)^2 = 0,2 \times 64 \times 0,0144 = 12,8 \times 0,0144 = 0,18432\text{ J}
Arredondando,
E \approx 0,18\text{ J}.

Passo 4

Para achar x onde a energia cinética K é igual à energia potencial U, usamos
K = U \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12\,m\,v^2 = \tfrac12\,k\,x^2.
Como v^2=\omega^2\,(A^2 - x^2) e k=m\,\omega^2, obtemos
m\,\omega^2\,(A^2 - x^2) = m\,\omega^2\,x^2 \quad\Longrightarrow\quad A^2 - x^2 = x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \tfrac{A^2}{2}.

Passo 5

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x = \pm \frac{A}{\sqrt2} = \pm \frac{0,12}{\sqrt2} \approx \pm 0,0849\text{ m} = \pm 8,49\text{ cm}.

Resposta

(a) E \approx 0,18,J
(b) x = \pm 0,0849,m ( \pm 8,49 cm)

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