Quatro cargas puntiformes de 20 \mu C cada estão fixadas sobre os eixos x e y em \pm 4 m. Encontre a força resultante sobre uma quinta carga puntiforme de 100 \mu C, localizada em (0,0,3)m.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Quatro cargas puntiformes idênticas de 20\\ \mu\mathrm{C} estão fixadas nos pontos (4,0,0), (-4,0,0), (0,4,0) e (0,-4,0). (Peguei essas posições porque o enunciado disse “sobre os eixos x e y em \pm 4 m”.)
  • Uma quinta carga puntiforme de 100\\ \mu\mathrm{C} está localizada em (0,0,3)\,\mathrm{m}.
  • Todas as cargas são positivas (o enunciado não diz o contrário), então as forças serão de repulsão.
  • O que precisamos encontrar: a força resultante sobre a carga de 100\\ \mu\mathrm{C} devido às quatro cargas fixas.

Passo 2

Apresento a lei que usamos (a “fórmula mágica”) e o que cada símbolo significa.
A força elétrica entre duas cargas puntuais é dada pela Lei de Coulomb, em forma vetorial:
\vec{F} = k\,\frac{q\,Q}{r^{2}}\,\hat{r},
onde:
  • k é a constante eletrostática ( k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}),
  • q e Q são as magnitudes das cargas (em coulombs),
  • r é a distância entre as cargas (em metros),
  • \hat{r} é o versor (vetor unitário) que aponta da carga fonte para a carga sobre a qual a força é calculada.
Uma forma vetorial equivalente, útil para fazer componentes, é:
\vec{F} = k\,\frac{q\,Q}{\lVert \vec{r}-\vec{r}_\text{fonte}\rVert^{3}}(\vec{r}-\vec{r}_\text{fonte}),
onde \vec{r} é a posição da carga que sentimos a força e \vec{r}_\text{fonte} é a posição da carga fonte. Isso dá diretamente as componentes da força.
Explicação didática curta: o módulo da força cai com 1/r^{2}; a direção é ao longo da reta que liga as cargas; o sinal (ou direção) depende do sinal das cargas (aqui são todas positivas, então elas se repelem).

Passo 3

Monte as posições e os vetores fonte→teste.
  • Posição da carga sobre a qual queremos a força (carga teste): \vec{r}=(0,0,3).
  • Posições das quatro cargas fontes:
    \vec{r}_1=(4,0,0),
    \vec{r}_2=(-4,0,0),
    \vec{r}_3=(0,4,0),
    \vec{r}_4=(0,-4,0).
Vou calcular primeiro a contribuição de uma carga em (4,0,0) — pelas simetrias as outras serão semelhantes.
Vetores fonte→teste (por exemplo para a fonte em (4,0,0)):
\vec{d}_1=\vec{r}-\vec{r}_1=(0-4,\;0-0,\;3-0)=(-4,\;0,\;3).
A distância é
r_1=\lVert\vec{d}_1\rVert=\sqrt{(-4)^{2}+0^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{m}.
Observação: isso é um triângulo 3\!-\!4\!-\!5, então fica fácil fazer componentes com frações simples.

Passo 4

Calcule o módulo da força entre a carga fonte e a carga teste.
Dados numéricos:
q_\text{fonte}=20\\ \mu\mathrm{C}=20\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, \qquad Q_\text{teste}=100\\ \mu\mathrm{C}=100\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}},\qquad r_1=5\\ \mathrm{m}.
Usando a forma de módulo:
F_1 = k\,\frac{q_\text{fonte}\,Q_\text{teste}}{r_1^{2}} =8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{(100\times10^{-6})(20\times10^{-6})}{5^{2}}.
Calcule passo a passo:
(100\times10^{-6})(20\times10^{-6})=2000\times10^{-12}=2\times10^{-9}\\ \mathrm{C^{2}},
\frac{2\times10^{-9}}{25}=8\times10^{-11},
F_1=8{,}99\times10^{9}\cdot8\times10^{-11}=0{,}7192\\ \mathrm{N}.
Portanto, cada carga fonte exerce uma força de módulo \;0{,}7192\\ \mathrm{N}\; sobre a carga de 100\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 5

Encontre o versor (unitário) na direção de \vec{d}_1 para obter componentes.
O versor é
\hat{u}_1=\frac{\vec{d}_1}{r_1}=\frac{(-4,\;0,\;3)}{5}=\left(-\frac{4}{5},\;0,\;\frac{3}{5}\right).
Logo as componentes da força vinda da carga em (4,0,0) são
\vec{F}_1 = F_1\,\hat{u}_1 =0{,}7192\left(-\frac{4}{5},\;0,\;\frac{3}{5}\right).
Calcule componente a componente:
F_{1x}=0{,}7192\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=-0{,}57536\\ \mathrm{N},
F_{1y}=0{,}7192\cdot 0=0\\ \mathrm{N},
F_{1z}=0{,}7192\cdot\frac{3}{5}=0{,}43152\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Use simetria para as outras três cargas.
  • Fonte em (-4,0,0): o vetor \vec{d}_2=(4,0,3) tem módulo 5, o módulo da força é igual ( 0{,}7192\\ \mathrm{N}), e o versor é \left(\frac{4}{5},0,\frac{3}{5}\right). Assim \vec{F}_2=(+0{,}57536,\;0,\;0{,}43152)\\ \mathrm{N}.
  • Fonte em (0,4,0): vetor \vec{d}_3=(0,-4,3) → versor \left(0,-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right), então \vec{F}_3=(0,\;-0{,}57536,\;0{,}43152)\\ \mathrm{N}.
  • Fonte em (0,-4,0): vetor \vec{d}_4=(0,4,3) → versor \left(0,\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right), então \vec{F}_4=(0,\;+0{,}57536,\;0{,}43152)\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Some as componentes para obter a força resultante.
Some as componentes x:
F_x = F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}+F_{4x} = -0{,}57536 + 0{,}57536 + 0 + 0 = 0\\ \mathrm{N}.
Some as componentes y:
F_y = 0 + 0 + (-0{,}57536) + 0{,}57536 = 0\\ \mathrm{N}.
Some as componentes z:
F_z = 0{,}43152 + 0{,}43152 + 0{,}43152 + 0{,}43152 = 4\times 0{,}43152 = 1{,}72608\\ \mathrm{N}.
Interpretação pela simetria: as componentes horizontais se cancelam (duas a duas) porque as cargas estão dispostas simetricamente; sobrou apenas componente vertical +z (empurrando a carga teste para cima, ou seja, afastando-a do plano z=0).

Passo 8

Escreva o vetor resultante e o módulo final, com unidade e direção.
O vetor força resultante é
\vec{F}_\text{res}=(0,\;0,\;1{,}72608)\\ \mathrm{N}.
Podemos também escrever usando o versor \hat{k} (direção +z):
\vec{F}_\text{res}=1{,}72608\\ \mathrm{N}\,\hat{k}.
Para arredondar com 3 algarismos significativos (suficiente para provas), fica
\vec{F}_\text{res}\approx(0,\;0,\;1{,}73)\\ \mathrm{N}.

Resposta

\vec{F}_\text{res}=(0,\;0,\;1{,}72608)\\ \mathrm{N}

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