Quatro cargas puntiformes de
cada estão fixadas sobre os eixos
e
em
m. Encontre a força resultante sobre uma quinta carga puntiforme de
, localizada em (0,0,3)m.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Quatro cargas puntiformes idênticas de
estão fixadas nos pontos , , e . (Peguei essas posições porque o enunciado disse “sobre os eixos e em m”.) - Uma quinta carga puntiforme de
está localizada em . - Todas as cargas são positivas (o enunciado não diz o contrário), então as forças serão de repulsão.
- O que precisamos encontrar: a força resultante sobre a carga de
devido às quatro cargas fixas.
Passo 2
Apresento a lei que usamos (a “fórmula mágica”) e o que cada símbolo significa.
A força elétrica entre duas cargas puntuais é dada pela Lei de Coulomb, em forma vetorial:
onde:
-
é a constante eletrostática ( ), -
e são as magnitudes das cargas (em coulombs), -
é a distância entre as cargas (em metros), -
é o versor (vetor unitário) que aponta da carga fonte para a carga sobre a qual a força é calculada.
Uma forma vetorial equivalente, útil para fazer componentes, é:
onde
é a posição da carga que sentimos a força e
é a posição da carga fonte. Isso dá diretamente as componentes da força.
Explicação didática curta: o módulo da força cai com
; a direção é ao longo da reta que liga as cargas; o sinal (ou direção) depende do sinal das cargas (aqui são todas positivas, então elas se repelem).
Passo 3
Monte as posições e os vetores fonte→teste.
- Posição da carga sobre a qual queremos a força (carga teste):
. - Posições das quatro cargas fontes:
Vou calcular primeiro a contribuição de uma carga em
— pelas simetrias as outras serão semelhantes.
Vetores fonte→teste (por exemplo para a fonte em
):
A distância é
Observação: isso é um triângulo
, então fica fácil fazer componentes com frações simples.
Passo 4
Calcule o módulo da força entre a carga fonte e a carga teste.
Dados numéricos:
Usando a forma de módulo:
Calcule passo a passo:
Portanto, cada carga fonte exerce uma força de módulo
sobre a carga de
.
Passo 5
Encontre o versor (unitário) na direção de
para obter componentes.
O versor é
Logo as componentes da força vinda da carga em
são
Calcule componente a componente:
Passo 6
Use simetria para as outras três cargas.
- Fonte em
: o vetor tem módulo , o módulo da força é igual ( ), e o versor é . Assim - Fonte em
: vetor → versor , então - Fonte em
: vetor → versor , então
Passo 7
Some as componentes para obter a força resultante.
Some as componentes
:
Some as componentes
:
Some as componentes
:
Interpretação pela simetria: as componentes horizontais se cancelam (duas a duas) porque as cargas estão dispostas simetricamente; sobrou apenas componente vertical
(empurrando a carga teste para cima, ou seja, afastando-a do plano
).
Passo 8
Escreva o vetor resultante e o módulo final, com unidade e direção.
O vetor força resultante é
Podemos também escrever usando o versor
(direção
):
Para arredondar com 3 algarismos significativos (suficiente para provas), fica