Você lança um projétil de sua janela que fica 8,0 \mathrm{~m} acima do solo. Quando o projétil deixa a sua mão, ele se move a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} formando um ângulo de 20^{\circ} abaixo da horizontal. a) A que distância horizontal de sua janela o projétil atinge o solo? b) Com que velocidade o projétil atinge o solo? ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado descreve um projétil lançado de uma janela a 8{,}0,m do solo, com velocidade inicial de 10,m/s formando 20^\circ abaixo da horizontal. O conteúdo principal é movimento em duas dimensões sob aceleração constante: vamos decompor o movimento em eixos horizontal (onde a velocidade é constante) e vertical (onde há aceleração -g).

Passo 2

Decompondo a velocidade inicial:
v_{0x} = v_0\cos20^\circ = 10\cos20^\circ, \quad v_{0y} = -\,v_0\sin20^\circ = -\,10\sin20^\circ.
Aqui tomamos o eixo y positivo para cima, logo v_{0y} é negativo pois o projétil desce.

Passo 3

Para achar o tempo de queda t, escrevemos a equação da posição vertical e igualamos a zero (no solo):
y(t) = y_0 + v_{0y}t - \tfrac12\,g\,t^2 = 0,
com y_0=8,m e g=9{,}8,m/s ^2. Logo,
8 - 10\sin20^\circ\;t - \tfrac12\cdot9{,}8\,t^2 = 0 \;\Longrightarrow\; 9{,}8\,t^2 + 20\sin20^\circ\;t -16 = 0.
Calculando os coeficientes: 20\sin20^\circ\approx6{,}84. A solução positiva da equação quadrática
t = \frac{-6{,}84 + \sqrt{6{,}84^2 + 4\cdot9{,}8\cdot16}}{2\cdot9{,}8} \approx0{,}98\text{ s}.

Passo 4

A distância horizontal percorrida é
x = v_{0x}\,t = 10\cos20^\circ \times 0{,}98 \approx9{,}2\text{ m}.

Passo 5

No instante do impacto, a componente horizontal da velocidade permanece
v_x = v_{0x} = 10\cos20^\circ \approx9{,}4\text{ m/s},
e a vertical é
v_y = v_{0y} - g\,t = -10\sin20^\circ - 9{,}8\times0{,}98 \approx -13{,}0\text{ m/s}.
A velocidade resultante tem módulo
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \approx\sqrt{9{,}4^2 + (-13{,}0)^2} \approx16{,}0\text{ m/s},
e direção
\theta = \arctan\!\biggl(\frac{|v_y|}{v_x}\biggr) \approx54^\circ\text{ abaixo da horizontal}.

Resposta

a) 9{,}2\text{ m}
b) 16{,}0\text{ m/s} (direction 54^\circ abaixo da horizontal)

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