Duas cargas de sinais opostos e mesmo módulo q estão separadas por uma distância d formando um dipolo elétrico. Calcule o campo elétrico em um ponto que fica a uma distância r do dipolo e é equidistante das duas cargas (a) aplicando diretamente a lei de Coulomb, e (b) utilizando a fórmula para o campo de um dipolo elétrico.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos duas cargas, +q e –q, separadas por uma distância d, formando um dipolo. Queremos o campo num ponto P que está na mediatriz do segmento que liga as cargas, a uma distância r do centro do dipolo (esse ponto é equidistante das duas cargas).
Matéria: eletrostática básica – Lei de Coulomb, princípio da superposição, definição de momento de dipolo e fórmula do campo de dipolo.
O que vamos usar:
• Lei de Coulomb:
E=14pivarepsilon0,qR^2,hat R
• Geometria (distância de P a cada carga e decomposição vetorial).
• Para o dipolo: momento elétrico p=q, d e fórmula aproximada Epropto p/r^3.

Passo 2

Coloco as cargas +q em x=+d/2 e –q em x=-d/2. O ponto P está em x=0, altura y=r.
Distância de P a cada carga:
R=raizl(d/2r)^2+r^2,
O campo de cada carga tem módulo
E1=E2=14pivarepsilon0,qR^2
e direção do centro das cargas até P.

Passo 3

Decompomos cada E na direção x (eixo que liga as cargas).
Ângulo entre E1 e o eixo x:
costheta=d/2R,
Logo o componente x de cada campo é
E1x=E1costheta=14pivarepsilon0,qR^2,d/2R =14pivarepsilon0,q,d2,R^3

Passo 4

Agora olhamos ao sinal:
• Da carga +q em x=+d/2, o campo em P aponta para a esquerda (componente negativa).
• Da carga –q em x=-d/2, o campo em P também aponta para a esquerda (porque é atrativo).
As componentes verticais ( y) se cancelam por simetria.

Passo 5

Somando as duas contribuições em x:
Ex = E1x + E2x = 2;14pivarepsilon0,q,d2,R^3 = 14pivarepsilon0,q,dR^3,
Como ambas são negativas, o campo resultante aponta para o lado da carga –q.

Passo 6

(a) Resultado exato (aplicando Coulomb + superposição):
boxed E = 14pivarepsilon0,q,dl(r^2+(d/2)^2r)^3/2 (direção: do ponto em direção à carga q) çãçãà

Passo 7

(b) Pelo modelo de dipolo, definimos o momento p=q, d.
Para um ponto na mediatriz e a uma distância rgg d, a fórmula aproximada é
Erm dipolo =14pivarepsilon0,pr^3 =14pivarepsilon0,q,dr^3
Isso coincide com o limite de (a) quando rgg d/2.

Resposta

(a) E=dfrac14pivarepsilon0,dfracq,dl(r^2+(d/2)^2r)^3/2 (apontando para a carga –q)
(b) Para rgg d: Eapproxdfrac14pivarepsilon0,dfracq,dr^3 (fórmula de dipolo)

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