Duas cargas de sinais opostos e mesmo módulo
estão separadas por uma distância
formando um dipolo elétrico. Calcule o campo elétrico em um ponto que fica a uma distância r do dipolo e é equidistante das duas cargas (a) aplicando diretamente a lei de Coulomb, e (b) utilizando a fórmula para o campo de um dipolo elétrico.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos duas cargas, +q e –q, separadas por uma distância d, formando um dipolo. Queremos o campo num ponto P que está na mediatriz do segmento que liga as cargas, a uma distância r do centro do dipolo (esse ponto é equidistante das duas cargas).
Matéria: eletrostática básica – Lei de Coulomb, princípio da superposição, definição de momento de dipolo e fórmula do campo de dipolo.
O que vamos usar:
• Lei de Coulomb:
Matéria: eletrostática básica – Lei de Coulomb, princípio da superposição, definição de momento de dipolo e fórmula do campo de dipolo.
O que vamos usar:
• Lei de Coulomb:
• Geometria (distância de P a cada carga e decomposição vetorial).
• Para o dipolo: momento elétrico e fórmula aproximada
.
• Para o dipolo: momento elétrico
Passo 2
Coloco as cargas +q em
e –q em
. O ponto P está em
, altura
.
Distância de P a cada carga:
Distância de P a cada carga:
O campo de cada carga tem módulo
e direção do centro das cargas até P.
Passo 3
Decompomos cada
na direção
(eixo que liga as cargas).
Ângulo entre e o eixo
:
Ângulo entre
Logo o componente
de cada campo é
Passo 4
Agora olhamos ao sinal:
• Da carga +q em , o campo em P aponta para a esquerda (componente negativa).
• Da carga –q em , o campo em P também aponta para a esquerda (porque é atrativo).
As componentes verticais ( ) se cancelam por simetria.
• Da carga +q em
• Da carga –q em
As componentes verticais (
Passo 5
Somando as duas contribuições em
:
Como ambas são negativas, o campo resultante aponta para o lado da carga –q.
Passo 6
(a) Resultado exato (aplicando Coulomb + superposição):
Passo 7
(b) Pelo modelo de dipolo, definimos o momento
.
Para um ponto na mediatriz e a uma distância , a fórmula aproximada é
Para um ponto na mediatriz e a uma distância
Isso coincide com o limite de (a) quando
.
Resposta
(a)
(apontando para a carga –q)
(b) Para :
(fórmula de dipolo)
(b) Para