Questão 4 (2,5 pontos) Uma partícula se movimenta sobre um plano. Em um dado referencial inercial, as coordenadas da partícula (ambas em m) são dadas por:
x(t)=2 t^2+A t y(t)=B t^2
a) ( 0,5 ponto) Quais são as dimensões das constantes A e B?
b) ( 0,5 ponto) Dê a expressão do vetor velocidade da partícula (em função do tempo) em termos dos versores i e j;
Considere agora que A=1 e B=3 (em unidades de SI).
c) (1,0 ponto) Quais são os módulos da velocidade média e da aceleração média da partícula entre os instantes t=2,0 s e t=4,0 s ?
d) (0,5 ponto ) determine o vetor posição para t=4 s.

Passo 1

Beleza, manda ver: temos uma partícula num plano cuja posição é dada por
x(t)=2,t^2 + A,t, y(t)=B,t^2
A gente vai trabalhar com cinemática (posição, velocidade e aceleração).
O que precisamos:
  1. Análise dimensional pra achar as unidades de A e B.
  2. Derivar a posição pra achar o vetor velocidade vec v(t).
  3. Com A=1 e B=3, calcular velocidade média e aceleração média entre t=2 s e t=4 s, usando
vec vmed=vec r(4)-vec r(2)4-2, vec amed=vec v(4)-vec v(2)4-2
  1. Calcular vec r(4).

Passo 2

(a) Dimensões de A e B
– Teoria: cada termo somado em x(t) deve ter unidade de metro [m].
  • O termo 2,t^2 é metros, então o “2” na verdade é 2,[m/s^2].
  • Em A,t, como t é segundos [s] e o produto dá metros, A tem unidade m/s.
    – Em y(t)=B,t^2, o produto ,B,[s^2] deve dar metros, logo B tem unidade m/s^2.

Passo 3

(b) Vetor velocidade vec v(t)
– Teoria: vec v(t)=dfracdvec rdt. Aqui vec r(t)=x(t),hat i + y(t),hat j.
  • dot x(t)=dxdt=4,t + A.
  • dot y(t)=dydt=2,B,t.
    – Logo
vec v(t)=l(4,t + Ar),hat i ;+; l(2,B,tr),hat j

Passo 4

(c) Módulos da velocidade média e da aceleração média entre t=2 s e t=4 s
Com A=1 e B=3:
  1. Primeiro vec r(t):
    • vec r(2) = l(2cdot2^2+1cdot2r)hat i + l(3cdot2^2r)hat j = (8+2)hat i + 12hat j = 10,hat i +12,hat j.
    • vec r(4) = l(2cdot4^2+1cdot4r)hat i + l(3cdot4^2r)hat j = (32+4)hat i +48hat j = 36,hat i +48,hat j.
  2. vec vmed = vec r(4)-vec r(2)4-2 = (36-10)hat i + (48-12)hat j2 = (13,hat i +18,hat j),m/s
    • Módulo:
      |vec vmed|=raiz13^2+18^2=raiz169+324=raiz493approx22.2 m/s
  3. Agora vec v(t) em t=2 e t=4:
    • vec v(2)=(4cdot2+1)hat i + (6cdot2)hat j = 9,hat i +12,hat j.
    • vec v(4)=(4cdot4+1)hat i + (6cdot4)hat j =17,hat i +24,hat j.
  4. vec amed = vec v(4)-vec v(2)4-2 = (17-9)hat i + (24-12)hat j2 = (4,hat i +6,hat j),m/s^2
    • Módulo:
      |vec amed|=raiz4^2+6^2=raiz16+36=raiz52approx7.21 m/s^2

Passo 5

(d) Vetor posição em t=4 s
Já calculado acima:
vec r(4)=36,hat i + 48,hat j(m)

Resposta

a) dim A=[m/s], dim B=[m/s^2].
b) vec v(t)=(4t+A),hat i + (2Bt),hat j
c) |vec vmed|approx22.2 m/s, |vec amed|approx7.21 m/s^2
d) vec r(4)=36,hat i +48,hat j (m)

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