Duas cargas xas,
, estão separadas por
. Onde uma terceira carga pode ser posicionada para que a força resultante que age sobre ela seja nula? (2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, o problema diz que temos duas cargas fixas numa mesma reta:
• q₁ = +2,08 μC
• q₂ = –4,16 μC
e elas estão separadas por d = 58,3 cm.
A pergunta é: em que ponto, ao longo dessa reta, colocamos uma terceira carga de prova para que a força resultante sobre ela seja zero?
Conteúdo: eletrostática (lei de Coulomb e superposição de forças). Vamos precisar escrever a equação da força elétrica em função da distância, analisar direções e resolver para a posição.
• q₁ = +2,08 μC
• q₂ = –4,16 μC
e elas estão separadas por d = 58,3 cm.
A pergunta é: em que ponto, ao longo dessa reta, colocamos uma terceira carga de prova para que a força resultante sobre ela seja zero?
Conteúdo: eletrostática (lei de Coulomb e superposição de forças). Vamos precisar escrever a equação da força elétrica em função da distância, analisar direções e resolver para a posição.
Passo 2
Primeiro, escolhemos um eixo x e posicionamos q₁ na origem (x=0) e q₂ em x = d = 0,583 m. Seja x a posição (no eixo) da carga de prova q₀.
Lei de Coulomb:
Lei de Coulomb:
A força resultante é a soma (vetorial) das forças de q₁ e de q₂ na carga de prova. Para anular, essas duas forças devem ter mesmo módulo e sentidos opostos.
Passo 3
Vamos pensar em três regiões possíveis para x:
(a) entre as cargas (0 < x < d)
(b) à esquerda de q₁ (x < 0)
© à direita de q₂ (x > d)
(a) entre as cargas (0 < x < d)
(b) à esquerda de q₁ (x < 0)
© à direita de q₂ (x > d)
Região (a):
– q₁ (= +) repele q₀ para a direita.
– q₂ (= –) atrai q₀ também para a direita.
Logo, as duas forças têm o mesmo sentido e não podem se anular. Essa região está descartada.
– q₁ (= +) repele q₀ para a direita.
– q₂ (= –) atrai q₀ também para a direita.
Logo, as duas forças têm o mesmo sentido e não podem se anular. Essa região está descartada.
Passo 4
Região (b), x < 0 (à esquerda de q₁):
– q₁ (+) repele q₀ para a esquerda.
– q₂ (–) atrai q₀ para a direita.
Os sentidos são opostos, então dá pra anular.
– q₁ (+) repele q₀ para a esquerda.
– q₂ (–) atrai q₀ para a direita.
Os sentidos são opostos, então dá pra anular.
Distâncias:
r₁ = |x – 0| = –x (porque x<0)
r₂ = |x – d| = d – x
r₁ = |x – 0| = –x (porque x<0)
r₂ = |x – d| = d – x
Igualando módulos:
Cancelamos k e q₀ e obtemos
$$\frac{q_1}{(-x)^2} ;=;\frac{|q_2|}{(d - x)^2}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{d - x}{-x} ;=;\sqrt{\frac{|q_2|}{q_1}} = \sqrt{\frac{4{,}16}{2{,}08}} = \sqrt{2}\approx1{,}414$$
Então
Passo 5
Região ©, x > d:
– q₁ repele q₀ para a direita.
– q₂ atrai q₀ para a esquerda.
Embora os sentidos sejam opostos, ao resolver a mesma equação dá um x negativo, o que não se encaixa em x > d. Logo, não há solução ali.
– q₁ repele q₀ para a direita.
– q₂ atrai q₀ para a esquerda.
Embora os sentidos sejam opostos, ao resolver a mesma equação dá um x negativo, o que não se encaixa em x > d. Logo, não há solução ali.
Resposta
A única posição que anula a força resultante é x ≈ –1,408 m, isto é, 1,408 m à esquerda da carga +2,08 μC (fora do segmento que une as duas cargas).