Duas cascas condutoras concêntricas têm raios R1=0,500 m e R2=1,00 m, cargas uniformes q1=+2,00 mu C e q2=+1,00 mu C e espessura insignificante. Com V=0 no infinito, determine V para r=1,00 m.

Passo 1

O problema diz que temos duas cascas condutoras concêntricas, com raios
R1 = 0,500 m, R2 = 1,00 m
e cargas uniformes
q1=+2,00,mu C, q2=+1,00,mu C,
Queremos achar o potencial elétrico V(b)-V(a)=-integrala^b vec Ecdot dvec r no ponto (ou seja, na superfície da casca externa), tomando .
Conteúdo: potencial eletrostático de distribuições esféricas e uso da definição

e da Lei de Gauss para achar .

Passo 2

Primeiro, lembrando a definição de potencial relativo ao infinito:
V(r) = -integralinfty^r E(r'),dr',,
onde é o módulo do campo radial em cada ponto. Como o potencial no infinito é zero, a gente só integra do infinito até .

Passo 3

Pra achar E(r),4pi r^2 = q1+q2varepsilon0 Longrightarrow E(r)=q1+q24pivarepsilon0,r^2, fora das cascas (isto é, para ), usamos a Lei de Gauss:
– Envolvendo as duas cascas por uma superfície gaussiana esférica de raio , a carga total escrita dentro é .
– Assim
$$E®,4\pi r^2 = \frac{q_1+q_2}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad
E®=\frac{q_1+q_2}{4\pi\varepsilon_0,r^2},. $$

Passo 4

Agora plugamos V(R2)= -integralinfty^R2q1+q24pivarepsilon0,r^2,dr = q1+q24pivarepsilon0integralR2^inftydrr^2 = q1+q24pivarepsilon0,l[,-1rr]R2^infty = q1+q24pivarepsilon0,R2, na integral do potencial:

Passo 5

Basta substituir valores em unidades SI:
q1+q2 = (2,00+1,00)times10^-6, C = 3,00times10^-6, C,
R2=1,00 m, varepsilon0approx8,85times10^-12,C^2/(N!·m^2)
Então
V(1,00, m)=3,00times10^-64pi,(8,85times10^-12),(1,00)approx2,70times10^4 V,

Resposta

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