Duas cascas condutoras concêntricas têm raios R_{1}=0,500 \mathrm{me} R_{2}=1,00 \mathrm{~m}, cargas q_{1}=+2,00 \mu \mathrm{C} e q_{2}= +1,00 \mu \mathrm{C} e espessura insignificante. Determine o módulo do campo elétrico E a uma distância do centro de curvatura das cascas (e) r=1,00 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado dá duas cascas condutoras esféricas concêntricas de raios R_{1}=0,500\;\mathrm{m} e R_{2}=1,00\;\mathrm{m}, com cargas q_{1}=+2,00\;\mu\mathrm{C} e q_{2}=+1,00\;\mu\mathrm{C}. Pede o módulo do campo elétrico a r=1,00\;\mathrm{m}. Vamos usar a Lei de Gauss, aproveitando a simetria esférica.

Passo 2

Para uma superfície gaussiana de raio r=1,00\;\mathrm{m}, que coincide com a casca externa, todo o campo não penetra no condutor entre R_{1} e R_{2}. Logo, ao ultrapassar R_{2}, a carga total encerrada é
q_{\mathrm{enc}}=q_{1}+q_{2}=(2,00+1,00)\times10^{-6}\;\mathrm{C}=3,00\times10^{-6}\;\mathrm{C}.

Passo 3

A Lei de Gauss diz que
\Phi_E = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E\,(4\pi r^{2}) = \frac{q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Como E é radial e constante sobre a esfera de raio r, temos
E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q_{\mathrm{enc}}}{r^{2}}.

Passo 4

Substituindo 1/(4\pi\varepsilon_{0})=8{,}99\times10^{9}\;\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}, q_{\mathrm{enc}}=3,00\times10^{-6}\;\mathrm{C} e r=1,00\;\mathrm{m}:
E = 8,99\times10^{9}\;\frac{3,00\times10^{-6}}{(1,00)^{2}} \approx 2,70\times10^{4}\;\mathrm{N/C}.

Resposta

O módulo do campo elétrico a r=1,00\;\mathrm{m} é aproximadamente
E = 2,70\times10^{4}\;\mathrm{N/C}.

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