Questão 2 ( 2,5 pontos) Uma linha de carga com densidade uniforme de 35,0 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m} repousa ao longo do eixo x; entre os pontos com coordenadas x=0 e x=40,0 \mathrm{~cm}.
a) (1.8) Encontre o campo elétrico criado em um ponto \mathbf{P} localizado em x=0 e y=15 \mathrm{~cm}.
b) (0.7) Calcule a força que atua em uma carga pontual q=10 \mu C colocada no ponto \mathbf{P}.

Passo 1

O enunciado descreve uma linha de carga uniforme de densidade \lambda=35{,}0\;\mu\mathrm{C/m} estendida ao longo do eixo x de x=0 até x=40{,}0\;\mathrm{cm} L=0{,}40\;\mathrm{m}. Queremos o campo elétrico em P=(0,\,d) com d=15{,}0\;\mathrm{cm} 0{,}15\;\mathrm{m} e depois a força sobre q=10\;\mu\mathrm{C} nesse ponto. Vamos usar a forma de Coulomb para distribuição contínua:
d\mathbf E = k\,\frac{\lambda\,dx}{r^2}\,\hat r,
integrando x de 0 a L.

Passo 2

Introduzimos para cada elemento em x a distância r=\sqrt{x^2+d^2}, e o versor
\hat r=\frac{\mathbf r}{r} =\frac{(-x)\,\hat\imath + d\,\hat\jmath}{r}.
Então os componentes do campo são
dE_x =-k\,\lambda\,\frac{x\,dx}{r^3}, \quad dE_y = k\,\lambda\,\frac{d\,dx}{r^3}.

Passo 3

Integramos de x=0 a x=L:
Para E_x:
E_x =-k\lambda\int_{0}^{L}\frac{x\,dx}{(x^2+d^2)^{3/2}} =-k\lambda\Bigl[\,-\frac{1}{\sqrt{x^2+d^2}}\Bigr]_{0}^{L} =-k\lambda\Bigl(\frac{1}{d}-\frac{1}{\sqrt{L^2+d^2}}\Bigr)
\quad = k\lambda\Bigl(\frac{1}{\sqrt{L^2+d^2}}-\frac{1}{d}\Bigr).
Para E_y:
E_y =k\lambda\,d\int_{0}^{L}\frac{dx}{(x^2+d^2)^{3/2}} =k\lambda\,d\;\frac{L}{d^2\sqrt{L^2+d^2}} =\;k\lambda\,\frac{L}{d\,\sqrt{L^2+d^2}}.

Passo 4

Substituindo k=8{,}987\times10^9\;\mathrm{N\cdot m^2/C^2}, \lambda=35{,}0\times10^{-6}\;\mathrm{C/m}, L=0{,}40\;\mathrm{m}, d=0{,}15\;\mathrm{m} e \sqrt{L^2+d^2}=0{,}427\;\mathrm{m}:
E_x =8{,}987\times10^9\cdot35\times10^{-6}\Bigl(\frac{1}{0{,}427}-\frac{1}{0{,}15}\Bigr) \approx -1{,}36\times10^6\;\mathrm{N/C},
E_y =8{,}987\times10^9\cdot35\times10^{-6}\,\frac{0{,}40}{0{,}15\cdot0{,}427} \approx 1{,}97\times10^6\;\mathrm{N/C}.
Logo
\mathbf E \approx(-1{,}36\hat\imath +1{,}97\hat\jmath)\times10^6\;\mathrm{N/C}.

Passo 5

A força sobre q=10\,\mu\mathrm{C}=10\times10^{-6}\,\mathrm{C} é
\mathbf F =q\,\mathbf E =(10\times10^{-6}) \;(-1{,}36\hat\imath +1{,}97\hat\jmath)\times10^6 \approx(-13{,}6\hat\imath +19{,}7\hat\jmath)\;\mathrm{N}.

Resposta

a) \mathbf E\approx(-1{,}36\hat\imath +1{,}97\hat\jmath)\times10^6\;\mathrm{N/C}.
b) \mathbf F\approx(-13{,}6\hat\imath +19{,}7\hat\jmath)\;\mathrm{N}.

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