Questāo 3 ( \mathbf{1 , 0} ponto extra) Explique por que a Lei de Gauss não pode ser aplicada para o cálculo do campo elétrico próximo a um dipolo elétrico, um disco carregado ou um triângulo com uma carga pontual em cada vértice.

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que, nos casos de um dipolo elétrico, de um disco carregado finito e de um triângulo com carga pontual em cada vértice, não conseguimos usar a Lei de Gauss para obter explicitamente o campo elétrico \mathbf{E}. O conteúdo é a Lei de Gauss no eletromagnetismo e a sua aplicação depende fortemente de condições de simetria para tornar \mathbf{E} constante ou fácil de parametrizar sobre a superfície gaussiana.

Passo 2

A Lei de Gauss em sua forma integral é
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \;=\;\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}}.
Ela vale sempre, mas para extrair \mathbf{E} precisamos escolher uma superfície S tal que:
  1. O módulo de \mathbf{E} seja constante em cada porção de S.
  2. A direção de \mathbf{E} seja paralela ou perpendicular a d\mathbf{A} de modo simples.
    Essas condições ocorrem apenas em distribuições com simetria esférica, cilíndrica infinita ou de plano infinito.

Passo 3

No caso do dipolo (duas cargas pontuais opostas separadas por uma distância):
  • O campo não é constante em nenhuma superfície fechada simples; ele varia rapidamente em direção e magnitude.
  • Não existe superfície natural em que \mathbf{E} tenha módulo constante e um ângulo fixo com d\mathbf{A}.
    Logo, embora a Lei de Gauss ainda seja verdadeira, não conseguimos simplificar o lado esquerdo para isolar \mathbf{E}.

Passo 4

Para um disco finito carregado:
  • Um disco finito não tem simetria de plano infinito (para o qual usaríamos um cilindro “gaussiano” com faces paralelas ao disco).
  • Qualquer superfície fechada passa por regiões onde o campo varia em módulo e direção de forma complexa.
    Portanto, não há superfície em que \mathbf{E} seja uniforme e com orientação fixa em toda a área.

Passo 5

No triângulo com carga pontual em cada vértice:
  • A distribuição é totalmente assimétrica (três pontos separados).
  • Não existe superfície simples que respeite a mesma distância a cada carga ou mantenha ângulo constante entre \mathbf{E} e d\mathbf{A}.
    Assim, não dá para aplicar Gauss para obter E; resta apenas a superposição usando a lei de Coulomb.

Resposta

Não podemos extrair uma expressão fechada para o campo elétrico nesses casos porque falta a simetria necessária para tornar \mathbf{E} uniforme ou com orientação fixa sobre alguma superfície gaussiana, condição essencial para isolar \mathbf{E} a partir de
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}}.

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