Questāo 3 (
ponto extra) Explique por que a Lei de Gauss não pode ser aplicada para o cálculo do campo elétrico próximo a um dipolo elétrico, um disco carregado ou um triângulo com uma carga pontual em cada vértice.
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que, nos casos de um dipolo elétrico, de um disco carregado finito e de um triângulo com carga pontual em cada vértice, não conseguimos usar a Lei de Gauss para obter explicitamente o campo elétrico
. O conteúdo é a Lei de Gauss no eletromagnetismo e a sua aplicação depende fortemente de condições de simetria para tornar
constante ou fácil de parametrizar sobre a superfície gaussiana.
Passo 2
A Lei de Gauss em sua forma integral é
Ela vale sempre, mas para extrair
precisamos escolher uma superfície
tal que:
- O módulo de
seja constante em cada porção de . - A direção de
seja paralela ou perpendicular a de modo simples.
Essas condições ocorrem apenas em distribuições com simetria esférica, cilíndrica infinita ou de plano infinito.
Passo 3
No caso do dipolo (duas cargas pontuais opostas separadas por uma distância):
- O campo não é constante em nenhuma superfície fechada simples; ele varia rapidamente em direção e magnitude.
- Não existe superfície natural em que
tenha módulo constante e um ângulo fixo com .
Logo, embora a Lei de Gauss ainda seja verdadeira, não conseguimos simplificar o lado esquerdo para isolar.
Passo 4
Para um disco finito carregado:
- Um disco finito não tem simetria de plano infinito (para o qual usaríamos um cilindro “gaussiano” com faces paralelas ao disco).
- Qualquer superfície fechada passa por regiões onde o campo varia em módulo e direção de forma complexa.
Portanto, não há superfície em queseja uniforme e com orientação fixa em toda a área.
Passo 5
No triângulo com carga pontual em cada vértice:
- A distribuição é totalmente assimétrica (três pontos separados).
- Não existe superfície simples que respeite a mesma distância a cada carga ou mantenha ângulo constante entre
e .
Assim, não dá para aplicar Gauss para obter; resta apenas a superposição usando a lei de Coulomb.
Resposta
Não podemos extrair uma expressão fechada para o campo elétrico nesses casos porque falta a simetria necessária para tornar
uniforme ou com orientação fixa sobre alguma superfície gaussiana, condição essencial para isolar
a partir de