Lançamento Oblíquo (
)
Determine o ângulo de lançamento para que o alcance seja máximo.
Determine o ângulo de lançamento para que o alcance seja máximo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o ângulo de lançamento que torna o alcance (distância horizontal, isto é, o “range”) máximo para um projétil, sabendo que
.
Informações e suposições relevantes (peguei do enunciado):
Informações e suposições relevantes (peguei
- A aceleração da gravidade é
. - Não foi dada velocidade inicial numérica nem alturas diferentes, então adotarei o caso padrão e mais comum em provas: o projétil é lançado do solo e retorna ao mesmo nível do solo (mesma altura de lançamento).
- O que se pede é o valor do ângulo de lançamento
(medido em relação à horizontal) que maximiza o alcance horizontal .
As variáveis que usarei:= velocidade inicial (módulo), = ângulo de lançamento, = aceleração da gravidade, = tempo e = alcance horizontal.
Passo 2
Vou decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é padrão em movimento oblíquo: a velocidade inicial
forma um ângulo
com a horizontal, então:
Explicando devagar:
é a parte da velocidade que “vai para a direita” (não muda porque não há aceleração horizontal), e
é a parte vertical (que sofre a aceleração
).
Passo 3
Escrevo as equações do movimento nas duas direções (cinemática básica, com aceleração constante):
Horizontally (sem aceleração):
Horizontally (sem aceleração):
Vertically (com aceleração
):
O alcance
é o valor de
quando o projétil volta ao mesmo nível de lançamento, isto é, quando
com
.
Passo 4
Determino o tempo de voo
resolvendo
(além de
). Da equação vertical:
Fatorando
:
A solução não-trivial é
Interpretação: o corpo sobe e depois desce; o tempo total é duas vezes o tempo de subida.
Passo 5
Agora calculo o alcance
usando
:
Substituindo
:
Uso a identidade trigonométrica
para simplificar:
Comentário: isso mostra uma coisa ótima para a prova — o alcance depende de
apenas através de
, e os outros fatores
e
são constantes (para um lançamento com
fixo).
Passo 6
Agora maximizar
. Dois caminhos simples: usar a propriedade do seno ou derivar. Primeiro o método rápido (propriedade do seno):
A função
tem valor máximo
. Logo
para todo
, com igualdade quando
Portanto o
é máximo quando
Observação útil: o valor de
e de
não afeta o ângulo ótimo — só afetam o alcance máximo em si.
Passo 7
(Método alternativo — derivada, só para reforçar a ideia e mostrar como confirmar que é máximo)
Derivando em relação a
:
Zero crítico quando
, isto é
. O primeiro (e relevante) corresponde a
levando a
. Checo a segunda derivada para garantir máximo:
Em
temos
, então
, confirmando que é um máximo.
Passo 8
Resumo e dica prática para a prova: quando o lançamento e a aterrissagem ocorrem no mesmo nível, o alcance é proporcional a
, então escolha
tal que
, isto é
. Se a altura de partida e de chegada forem diferentes, o problema exige outra fórmula e o ângulo ideal muda — nesse caso não tente aplicar esse resultado sem checar as alturas.