Lançamento Oblíquo ( \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )
Determine o ângulo de lançamento para que o alcance seja máximo.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ângulo de lançamento que torna o alcance (distância horizontal, isto é, o “range”) máximo para um projétil, sabendo que g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Informações e suposições relevantes (peguei g do enunciado):
  • A aceleração da gravidade é \,g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.
  • Não foi dada velocidade inicial numérica nem alturas diferentes, então adotarei o caso padrão e mais comum em provas: o projétil é lançado do solo e retorna ao mesmo nível do solo (mesma altura de lançamento).
  • O que se pede é o valor do ângulo de lançamento \theta (medido em relação à horizontal) que maximiza o alcance horizontal R.
    As variáveis que usarei: v_0 = velocidade inicial (módulo), \theta = ângulo de lançamento, g = aceleração da gravidade, t = tempo e R = alcance horizontal.

Passo 2

Vou decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é padrão em movimento oblíquo: a velocidade inicial v_0 forma um ângulo \theta com a horizontal, então:
v_{0x} = v_0\cos\theta, \qquad v_{0y} = v_0\sin\theta.
Explicando devagar: v_{0x} é a parte da velocidade que “vai para a direita” (não muda porque não há aceleração horizontal), e v_{0y} é a parte vertical (que sofre a aceleração -g).

Passo 3

Escrevo as equações do movimento nas duas direções (cinemática básica, com aceleração constante):
Horizontally (sem aceleração):
x(t) = v_{0x}\,t = v_0\cos\theta\;t.
Vertically (com aceleração -g):
y(t) = v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2} g t^{2} = v_0\sin\theta\;t - \tfrac{1}{2} g t^{2}.
O alcance R é o valor de x quando o projétil volta ao mesmo nível de lançamento, isto é, quando y(t)=0 com t>0.

Passo 4

Determino o tempo de voo T resolvendo y(T)=0 (além de t=0). Da equação vertical:
v_0\sin\theta\;T - \tfrac{1}{2} g T^{2} = 0.
Fatorando T:
T\left(v_0\sin\theta - \tfrac{1}{2} g T\right)=0.
A solução não-trivial é
v_0\sin\theta - \tfrac{1}{2} g T = 0 \quad\Rightarrow\quad T = \frac{2 v_0\sin\theta}{g}.
Interpretação: o corpo sobe e depois desce; o tempo total é duas vezes o tempo de subida.

Passo 5

Agora calculo o alcance R usando x(T):
R = x(T) = v_0\cos\theta\;T.
Substituindo T:
R = v_0\cos\theta\cdot\frac{2 v_0\sin\theta}{g} = \frac{2 v_0^{2}}{g}\sin\theta\cos\theta.
Uso a identidade trigonométrica \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta para simplificar:
R = \frac{v_0^{2}}{g}\sin 2\theta.
Comentário: isso mostra uma coisa ótima para a prova — o alcance depende de \theta apenas através de \sin 2\theta, e os outros fatores v_0 e g são constantes (para um lançamento com v_0 fixo).

Passo 6

Agora maximizar R(\theta)=\dfrac{v_0^{2}}{g}\sin 2\theta. Dois caminhos simples: usar a propriedade do seno ou derivar. Primeiro o método rápido (propriedade do seno):
A função \sin tem valor máximo 1. Logo \sin 2\theta \le 1 para todo \theta, com igualdade quando
2\theta = \frac{\pi}{2}\\ \text{(radianos)} \quad\text{ou}\quad 2\theta = 90^\circ.
Portanto o R é máximo quando
2\theta = \frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{4} = 45^\circ.
Observação útil: o valor de g e de v_0 não afeta o ângulo ótimo — só afetam o alcance máximo em si.

Passo 7

(Método alternativo — derivada, só para reforçar a ideia e mostrar como confirmar que é máximo)
R(\theta) = \frac{v_0^{2}}{g}\sin 2\theta.
Derivando em relação a \theta:
\frac{dR}{d\theta} = \frac{v_0^{2}}{g}\cdot 2\cos 2\theta.
Zero crítico quando \cos 2\theta = 0, isto é 2\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi. O primeiro (e relevante) corresponde a 2\theta=\frac{\pi}{2} levando a \theta=\frac{\pi}{4}. Checo a segunda derivada para garantir máximo:
\frac{d^{2}R}{d\theta^{2}} = \frac{v_0^{2}}{g}\cdot (-4)\sin 2\theta.
Em \theta=\frac{\pi}{4} temos \sin 2\theta = 1, então \frac{d^{2}R}{d\theta^{2}} = -\dfrac{4 v_0^{2}}{g} < 0, confirmando que é um máximo.

Passo 8

Resumo e dica prática para a prova: quando o lançamento e a aterrissagem ocorrem no mesmo nível, o alcance é proporcional a \sin 2\theta, então escolha \theta tal que 2\theta=90^\circ, isto é \theta=45^\circ. Se a altura de partida e de chegada forem diferentes, o problema exige outra fórmula e o ângulo ideal muda — nesse caso não tente aplicar esse resultado sem checar as alturas.

Resposta

\theta = 45^\circ

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