Um fluido está disposto entre duas placas planas e paralelas. A placa inferior é móvel e está conectada a um peso por um cabo que passa por uma polia. A placa superior é fixa. O espaçamento entre as placas é de 5 mm e a massa conectada ao prato é de 0,001 kg. A área de cada placa em contato com o fluido é de 0,5 m^2. Calcule a velocidade da placa para cada uma das situações a seguir, onde o líquido é:
i. aço fundido a 1600^circ C(mu=1,5.10^-3 kg /(m s) (Resp. 00,065 m / s )
ii. pasta de dente (tauo=4 N / m^2, muo=0.004 N s / m^2). (Resp. 0 m / s )
iii. pasta de dente (tau0=4 N / m^2, muo=0.004 N s / m^2) agora para uma massa de 0,5 kg. (Resp.: 7,25 m / s )
iv. Fluido pseudoplástico ( k=1,15 kg s^n-2 / m, n=0,478 ) (Resp.: 10^-6 m / s )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fluido entre duas placas paralelas, com a placa de baixo se mexendo puxada por um peso. Precisamos calcular a velocidade dessa placa em diferentes situações. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, principalmente sobre viscosidade e forças envolvidas. Vamos precisar das fórmulas para força viscosa e balanço de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a força exercida pelo peso e a força viscosa do fluido. A força do peso é igual a $ F = m \cdot g $, onde $ m $ é a massa e $ g $ a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $).

Passo 3

A força viscosa que o fluido exerce contra o movimento da placa é dada por $ F_{viscosa} = \mu \cdot \frac{A \cdot v}{h} $, onde:
  • $ \mu $ é a viscosidade do fluido,
  • $ A $ é a área da placa,
  • $ v $ é a velocidade da placa,
  • $ h $ é o espaçamento entre as placas.

Passo 4

No equilíbrio, a força do peso é igual à força viscosa:
m cdot g = mu cdot A cdot vh
Queremos encontrar $ v $, então vamos isolar essa variável:
v

Passo 5

Agora, vamos aplicar essa fórmula para cada situação proposta:

i. Aço fundido a 1600^circ C com $ \mu = 1,5 \times 10^{-3} , kg/(m \cdot s) $

Substituindo os valores:
mu = 1,5 times 10^-3 , kg/(m cdot s)
m = 0,001 , kg
g = 9,81 , m/s^2
h = 5 times 10^-3 , m
A = 0,5 , m^2
mu = 1,5 times 10^-3 , kg/(m cdot s)
v = 0,001 times 9,81 times 5 times 10^-31,5 times 10^-3 times 0,5
v = 0,000049050,00075

Passo 6

ii. Pasta de dente com $ \tau_{0} = 4 , N/m^2 $ e $ \mu_{0} = 0,004 , N \cdot s/m^2 $

Para fluidos com tensão de cisalhamento inicial ($ \tau_{0} $), precisamos verificar se a força do peso é suficiente para iniciar o movimento. A força necessária para superar a tensão de cisalhamento é $ F_{inicial} = \tau_{0} \cdot A $.
Calculando:
tau0 = 4 , N/m^2
mu0 = 0,004 , N cdot s/m^2
Como $ 0,00981 , N < 2 , N $, a força do peso não é suficiente para iniciar o movimento. Portanto, a velocidade é zero.

Passo 7

iii. Pasta de dente com $ \tau_{0} = 4 , N/m^2 $, $ \mu_{0} = 0,004 , N \cdot s/m^2 $ e massa de tau0 = 4 , N/m^2

Agora, com uma massa maior:
mu0 = 0,004 , N cdot s/m^2
0,5 , kg
Como $ 4,905 , N > 2 , N $, a força do peso é suficiente para superar a tensão de cisalhamento. Agora, calculamos a velocidade usando a fórmula anterior:
Fpeso = 0,5 times 9,81 = 4,905 , N
Finicial = 4 times 0,5 = 2 , N
4,905 , N > 2 , N
Parece que houve um erro na resposta esperada (7,25 m/s). Vamos verificar:
Pode ser que a tensão de cisalhamento não deva ser contabilizada na velocidade adicional, então ajustando:
v = 4,905 times 5 times 10^-30,004 times 0,5
v = 0,0245250,002
v = 12,2625 , m/s
v = Fpeso - Finicialmu cdot A / h
v = 4,905 - 20,004 times 0,5 / 0,005
Arredondando, $ v \approx 7,25 , m/s $.

Passo 8

iv. Fluido pseudoplástico com $ k = 1,15 , kg \cdot s^{n-2}/m $ e $ n = 0,478 $

Para fluidos pseudoplásticos, usamos a relação de potência para viscosidade:
k = 1,15 , kg cdot s^n-2/m
Com balance de forças:
n = 0,478
Isolando $ v $:
tau = k ( dvdy )^n
Substituindo os valores:
m cdot g = k cdot ( vh )^n cdot A
v
v = ( m cdot gk cdot A )^1/n cdot h
m = 0,001 , kg
g = 9,81 , m/s^2
h = 5 times 10^-3 , m
A = 0,5 , m^2
k = 1,15 , kg cdot s^-1.522/m
n = 0,478
v = ( 0,001 times 9,811,15 times 0,5 )^1/0,478 times 5 times 10^-3
v = ( 0,009810,575 )^2,089 times 0,005
Arredondando, $ v \approx 10^{-6} , m/s $.

Resposta

i. 0,065 , m/s
ii. 0 , m/s
iii. 7,25 , m/s
iv. 10^-6 , m/s

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