Dè duas demonstrações distintas para o teorema do Núcleo-Imagem. Compare as demonstrações.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos demonstrar o teorema do Núcleo-Imagem (também chamado de Teorema da Dimensão) para uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita. O conteúdo envolve conceito de núcleo, imagem, base e dimensão, e vamos precisar usar extensão de base e propriedades de espaços quocientes.
Passo 2
Primeira demonstração (por extensão de base): escolhemos uma base de e a completamos em uma base de formando Como para , as imagens geram . Mostra-se que são linearmente independentes: qualquer combinação linear que zere envolvia já vetores de , logo os coeficientes são nulos. Assim é base de . Contando as dimensões, temos
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Passo 3
Segunda demonstração (por espaço quociente): consideramos o espaço quociente . A transformação induz um isomorfismo bem definido pela propriedade universal de quocientes. Como isomorfismos preservam dimensão, dim(V/ker f)=dimImf
Mas pela fórmula de dimensão de quociente em espaços vetoriais finitos vale dim(V/ker f)=dim V-dimker f
Logo juntando as igualdades obtemos novamente dimker f+dimImf=dim V
Passo 4
Comparação das demonstrações: a primeira é mais construtiva, explicita e baseada na extensão de base; mostra diretamente como montar uma base da imagem a partir de uma base do domínio. A segunda é mais conceitual, usando propriedades de espaços quociente e isomorfismos para chegar ao resultado de forma mais abstrata. A extensão de base é mais elementar e intuitiva; o argumento do quociente tem o mérito de evidenciar a estrutura exata da sequência 0toker fto VtoImfto0.