Dè duas demonstrações distintas para o teorema do Núcleo-Imagem. Compare as demonstrações.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos demonstrar o teorema do Núcleo-Imagem (também chamado de Teorema da Dimensão) para uma transformação linear fcolon Vto W entre espaços vetoriais de dimensão finita. O conteúdo envolve conceito de núcleo, imagem, base e dimensão, e vamos precisar usar extensão de base e propriedades de espaços quocientes.

Passo 2

Primeira demonstração (por extensão de base): escolhemos uma base v1,dots,vk de ker f e a completamos em uma base de V formando v1,dots,vk,;vk+1,dots,vnComo f(vi)=0 para i=1,dots,k, as imagens f(vk+1),dots,f(vn) geram Im,f. Mostra-se que são linearmente independentes: qualquer combinação linear que zere envolvia já vetores de ker f, logo os coeficientes são nulos. Assim f(vk+1),dots,f(vn) é base de Im,f. Contando as dimensões, temos
dim V=n,dimker f=k,dimImf=n-k,
logo
dimker f+dimImf=k+(n-k)=n=dim V

Passo 3

Segunda demonstração (por espaço quociente): consideramos o espaço quociente V/ker f. A transformação f induz um isomorfismo bem definido bar fcolon V/ker f xrightarrow simeq Im,fpela propriedade universal de quocientes. Como isomorfismos preservam dimensão,
dim(V/ker f)=dimImf
Mas pela fórmula de dimensão de quociente em espaços vetoriais finitos vale
dim(V/ker f)=dim V-dimker f
Logo juntando as igualdades obtemos novamente
dimker f+dimImf=dim V

Passo 4

Comparação das demonstrações: a primeira é mais construtiva, explicita e baseada na extensão de base; mostra diretamente como montar uma base da imagem a partir de uma base do domínio. A segunda é mais conceitual, usando propriedades de espaços quociente e isomorfismos para chegar ao resultado de forma mais abstrata. A extensão de base é mais elementar e intuitiva; o argumento do quociente tem o mérito de evidenciar a estrutura exata da sequência 0toker fto VtoImfto0.

Resposta

dimker f+dimImf=dim V

Exercícios relacionados