Questão 3

Seja ABCD um retângulo tal que A B e o angulo entre A C e cos ((A B, A C))=12 raiz5 verifica A B.
a. Achar as coordenadas do vetor E=(5,7,6).
b. Seja A B, A D. Calcular o volume do paralelepípedo de arestas A E e .

Passo 1

O enunciado pede para achar o vetor AB dado seu versor e a relação de cosseno com a diagonal AC, sabendo que ABCD é retângulo, e depois calcular o volume do paralelepípedo de arestas AB,AD,AE. Vamos usar geometria vetorial e produto misto.

Passo 2

Calcular AC e seu módulo. Temos
AC=C-A=(1-1,,1-(-1),,3-2)=(0,2,1),
e
|AC|=raiz0^2+2^2+1^2=raiz5

Passo 3

Como ABCD é retângulo, o ângulo entre AB e AC é o ângulo entre o cateto AB e a hipotenusa AC, logo
cos(AB,AC)=|AB||AC|

Passo 4

Igualando ao valor dado:
|AB|raiz5=12raiz5Longrightarrow|AB|=tfrac12

Passo 5

Então o vetor AB é o versor vezes esse módulo:
AB=|AB|,AB^0=tfrac12l(-tfracraiz22,tfrac12,-tfrac12r)=l(-tfracraiz24,tfrac14,-tfrac14r)

Passo 6

Agora AD=AC-AB=(0,2,1)-l(-tfracraiz24,tfrac14,-tfrac14r)=(tfracraiz24,tfrac74,tfrac54)
E AE=E-A=(5-1,7-(-1),6-2)=(4,8,4)

Passo 7

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto misto:
V=l|det[AB,AD,AE]r|

Passo 8

Fatorando tfrac14 em AB e em AD e calculando o determinante, chega-se a V=3

Resposta

(a) AB=(-tfracraiz24,tfrac14,-tfrac14). (b) O volume do paralelepípedo é 3.

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