Questão 4

Dados os pontos A=(1,0,2), B=(2,-1,3) e C=(1,2,-1) e o vetor v=(0,1,2)
a. Determine a equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto A e é paralela ao vetor v.
b. Determine a equação vetorial do plano alpha que passa pelos pontos A e B e é paralelo ao vetor v.
c. Determine a equação cartesiana do plano beta que passa pela origem, pelo ponto C e cujo vetor normal nbeta é perpendicular ao vetor nalpha (o vetor normal ao plano alpha da letra b).

Passo 1

O enunciado pede três coisas em geometria analítica: a) a equação paramétrica da reta r que passa por A e é paralela a v, b) a equação vetorial do plano α que passa por A e B e é paralelo a v, e c) a equação cartesiana do plano β que passa pela origem e por C cujo vetor normal n_β é perpendicular ao vetor normal n_α do plano α. Vamos usar os conceitos de forma paramétrica de reta, forma vetorial de plano e produto vetorial para obter normais e equações cartesianas.

Passo 2

Para achar a reta r passando por A=(1,0,2) e paralela a v=(0,1,2), lembramos que qualquer reta paralela a um vetor diretor v e que passa em A tem equação paramétrica r(t)=A+t v. Assim,
r(t)= (1,0,2)+t,(0,1,2), tinR

Passo 3

Para achar o plano α que passa por A e B e é paralelo a v, precisamos de um ponto no plano (podemos usar A) e de dois vetores diretores. Um é v e o outro é AB=B−A. Calculando
AB=(2,-1,3)-(1,0,2)=(1,-1,1)
Então a equação vetorial de α é
alpha:;(x,y,z)=(1,0,2)+s,(1,-1,1)+t,(0,1,2), s,tinR

Passo 4

Para obter o vetor normal n_α do plano α, fazemos o produto vetorial entre seus diretores AB e v:
nα=ABtimes v=(1,-1,1)times(0,1,2)=(-3,-2,1)

Passo 5

Para o plano β, sabemos que ele passa pela origem e por C=(1,2,-1), e que seu normal n_β deve ser perpendicular a n_α. Além disso, por conter a origem e C, o vetor C também está contido no plano, então n_β⊥C. Um vetor que satisfaz ambas as condições é o produto vetorial de C por n_α:
nβ=Ctimes nα=(1,2,-1)times(-3,-2,1)=(0,2,4)

Passo 6

Como podemos escalar n_β, simplificamos para (0,1,2). A equação cartesiana de β, passando pela origem, é n_β·(x,y,z)=0. Portanto:
β:;0,x+1,y+2,z=0Longrightarrow y+2z=0

Resposta

a) r(t)=(1,0,2)+t(0,1,2),;tinR b) alpha:;(x,y,z)=(1,0,2)+s(1,-1,1)+t(0,1,2),;s,tinR c) beta:;y+2z=0

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