Questão 4
Dados os pontos
e
e o vetor
a. Determine a equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto
e é paralela ao vetor
.
b. Determine a equação vetorial do plano
que passa pelos pontos
e
e é paralelo ao vetor
.
c. Determine a equação cartesiana do plano
que passa pela origem, pelo ponto C e cujo vetor normal
é perpendicular ao vetor
(o vetor normal ao plano
da letra b).
a. Determine a equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto
b. Determine a equação vetorial do plano
c. Determine a equação cartesiana do plano
Passo 1
O enunciado pede três coisas em geometria analítica: a) a equação paramétrica da reta r que passa por A e é paralela a v, b) a equação vetorial do plano α que passa por A e B e é paralelo a v, e c) a equação cartesiana do plano β que passa pela origem e por C cujo vetor normal n_β é perpendicular ao vetor normal n_α do plano α. Vamos usar os conceitos de forma paramétrica de reta, forma vetorial de plano e produto vetorial para obter normais e equações cartesianas.
Passo 2
Para achar a reta r passando por A=(1,0,2) e paralela a v=(0,1,2), lembramos que qualquer reta paralela a um vetor diretor v e que passa em A tem equação paramétrica r(t)=A+t v. Assim,
Passo 3
Para achar o plano α que passa por A e B e é paralelo a v, precisamos de um ponto no plano (podemos usar A) e de dois vetores diretores. Um é v e o outro é AB=B−A. Calculando
Então a equação vetorial de α é
Passo 4
Para obter o vetor normal n_α do plano α, fazemos o produto vetorial entre seus diretores AB e v:
Passo 5
Para o plano β, sabemos que ele passa pela origem e por C=(1,2,-1), e que seu normal n_β deve ser perpendicular a n_α. Além disso, por conter a origem e C, o vetor C também está contido no plano, então n_β⊥C. Um vetor que satisfaz ambas as condições é o produto vetorial de C por n_α:
Passo 6
Como podemos escalar n_β, simplificamos para (0,1,2). A equação cartesiana de β, passando pela origem, é n_β·(x,y,z)=0. Portanto:
Resposta
a)
b)
c)