Duas engrenagens A e B têm 16 e 28 dentes, respectivamente. Elas estão encaixadas de maneira que um motor ligado à engrenagem A a faz girar no sentido horário e esta faz a engrenagem B girar no sentido anti-horário. Se a engrenagem A realiza uma revolução por minuto, depois de quanto tempo do motor ter sido ligado as duas engrenagens retornarão a posição inicial?

Passo 1

O enunciado diz que temos duas engrenagens A e B com 16 e 28 dentes, respectivamente. A engrenagem A gira a 1 revolução por minuto no sentido horário e, por engrenamento, faz B girar no sentido anti-horário. Precisamos achar o menor tempo t>0 em que ambas retornam à posição inicial simultaneamente.

Passo 2

Para cada revolução de A, a engrenagem B gira um número de voltas dado pela razão dos dentes, com sinal oposto (troca de sentido). Assim,
vo<as de B = -dentes de Adentes de B =-1628 =-47

Passo 3

Como A completa 1 revolução por minuto, em tempo t (em minutos) ela completa t revoluções. Consequentemente, B completa
-47,t
revoluções no mesmo intervalo.

Passo 4

Para que ambas voltem à posição inicial, é preciso que cada uma complete um número inteiro de revoluções:
  1. A: tinZ,
  2. B: -tfrac47tinZ.
A condição tfrac47tinZ implica que 7 divide 4t. Como gcd(4,7)=1, segue que 7 deve dividir t. Logo, o menor t>0 inteiro que satisfaz isso é t=7.

Resposta

7 minutos.

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