Explique porque cada uma das funções abaixo é descontínua no ponto indicado.
f(x)=ll1x-1 & se x neq 1 2 & se x=1 em p=1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= dfrac1x-1,&se xneq1,[6pt] 2,&se x=1,
e pede para mostrar que ela é descontínua em p=1. O conteúdo aqui é o conceito de continuidade de funções reais: precisamos comparar o valor da função em p com o limite de f(x) quando x se aproxima de p.]

Passo 2

Lembrando a definição, f é contínua em p=1 se, e somente se,
limxto1f(x) ;=; f(1)
Portanto vamos calcular limxto1f(x) usando a expressão válida para xneq1.

Passo 3

Para xneq1, f(x)=1/(x-1). Então
limxto11x-1
é um limite que não converge a um número finito:
  • Quando xto1^-, o denominador (x-1) é negativo e muito pequeno, logo 1x-1to -infty.
  • Quando xto1^+, o denominador é positivo e muito pequeno, logo 1x-1to +infty.
Ou seja, o limite não existe no conjunto dos números reais.

Passo 4

Como limxto1f(x) não existe (nem tende a um valor finito), não pode ser igual a f(1)=2. Portanto a condição de continuidade falha.

Resposta

A função é descontínua em p=1 porque
limxto1f(x) = limxto11x-1
não existe (diverge para -infty pela esquerda e +infty pela direita), logo não coincide com f(1)=2.

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