1. Duas esferas condutoras A e B idênticas estão separadas por uma distância muito maior do que seus raios. Inicialmente, a esfera A está carregada com +2 C e a esfera B está carregada com uma carga Q desconhecida. Nessa situação, a esfera A sente uma força \overrightarrow{\mathrm{F}}_{1} atrativa. Então, um fio condutor tem suas extremidades conectadas às esferas de modo que a esfera A passa a sentir uma força \overrightarrow{\mathrm{F}}_{2} repulsiva. Sabendo que \left|\overrightarrow{\mathrm{F}}_{1}-\overrightarrow{\mathrm{F}}_{2}\right|=\frac{4 \mathrm{~F}_{1}}{3}, determine os possíveis valores de Q .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o valor de Q:
  • Duas esferas condutoras idênticas A e B estão separadas por uma distância muito maior que seus raios.
  • Inicialmente, a esfera A tem carga +2\\ \mathrm{C} e a esfera B tem carga Q (valor desconhecido).
  • Nessa situação inicial, a esfera A sente uma força atraente \overrightarrow{\mathrm{F}}_{1}.
  • Em seguida, conecta-se um fio condutor entre as esferas; então a esfera A passa a sentir uma força repulsiva \overrightarrow{\mathrm{F}}_{2}.
  • Foi dado que \left|\overrightarrow{\mathrm{F}}_{1}-\overrightarrow{\mathrm{F}}_{2}\right|=\dfrac{4\mathrm{F}_{1}}{3}.
  • Queremos determinar os possíveis valores de Q.

Passo 2

Modelo físico e fórmulas úteis (passo-a-passo tranquilo).
  • Como a separação é muito maior que os raios, podemos tratar cada esfera como uma carga puntiforme localizada no centro; então usamos a Lei de Coulomb para a magnitude da força elétrica entre duas cargas puntuais:
F = k\,\dfrac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde k é a constante eletrostática ( k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}), q_1 e q_2 são as cargas, e r é a distância entre centros. Aqui k e r são constantes fixas no problema.
  • Como \overrightarrow{\mathrm{F}}_{1} é atrativa, as cargas têm sinais opostos inicialmente. A esfera A tem +2, logo Q deve ser negativo:
Q<0.
Isso garante F_1 atrativa (em módulo, F_1>0).

Passo 3

Expressar F_{1} e F_{2} em fórmulas (introduzimos uma constante para simplificar).
  • Defina a constante
C=\dfrac{k}{r^2},
assim C>0 e é comum a todas as forças entre essas esferas.
  • Magnitude da força inicial \mathrm{F}_1 (entre cargas +2 e Q):
\mathrm{F}_1 = C\cdot |2Q|.
Como Q<0, temos |2Q|=-2Q, então
\mathrm{F}_1 = C(-2Q).
  • O que acontece ao conectar o fio: como as esferas são idênticas e estão ligadas por um condutor, as cargas se redistribuem até que as potencialidades sejam iguais; para esferas idênticas e distantes, isso significa que as cargas finais são iguais. Assim a carga total 2+Q se divide igualmente, e cada esfera fica com carga
q'=\dfrac{2+Q}{2}.
(Aqui explicação: potencial de cada esfera isolada, quando distantes, é proporcional à sua carga; ligando-as, igualdade de potencial leva a igualdade de cargas.)
  • Após a ligação, a força \mathrm{F}_2 tem magnitude (ambas as esferas com carga q'):
\mathrm{F}_2 = C\cdot \dfrac{(2+Q)^2}{4}.
O enunciado diz que \mathrm{F}_2 é repulsiva, o que significa que q'\neq 0 e as duas cargas finais têm mesmo sinal (pode ser ambos positivos ou ambos negativos).

Passo 4

Usar a condição numérica dada e raciocinar sobre o sinal da diferença.
  • Foi dado que \left|\mathrm{F}_1-\mathrm{F}_2\right|=\dfrac{4\mathrm{F}_1}{3}. Como \mathrm{F}_1>0 e \mathrm{F}_2>0 (são magnitudes), há duas possibilidades formais:
    1. \mathrm{F}_2-\mathrm{F}_1=\dfrac{4\mathrm{F}_1}{3} (ou seja \mathrm{F}_2>\mathrm{F}_1);
    2. \mathrm{F}_1-\mathrm{F}_2=\dfrac{4\mathrm{F}_1}{3} (ou seja \mathrm{F}_1>\mathrm{F}_2).
  • Teste da segunda possibilidade: se \mathrm{F}_1-\mathrm{F}_2=\dfrac{4\mathrm{F}_1}{3} então \mathrm{F}_2=\mathrm{F}_1-\dfrac{4\mathrm{F}_1}{3}=-\dfrac{1}{3}\mathrm{F}_1, isto é, \mathrm{F}_2 seria negativa — impossível para uma magnitude. Logo essa possibilidade é descartada.
  • Portanto devemos ter
\mathrm{F}_2-\mathrm{F}_1=\dfrac{4\mathrm{F}_1}{3},
ou seja
\mathrm{F}_2=\dfrac{7}{3}\mathrm{F}_1.

Passo 5

Substituir expressões de \mathrm{F}_1 e \mathrm{F}_2 e resolver algebricamente.
  • Substituindo \mathrm{F}_1 = C(-2Q) e \mathrm{F}_2 = C\,\dfrac{(2+Q)^2}{4} em \mathrm{F}_2=\dfrac{7}{3}\mathrm{F}_1 e cancelando C (não nulo), obtemos
\dfrac{(2+Q)^2}{4} = \dfrac{7}{3}\bigl(-2Q\bigr).
  • Multiplicando ambos os lados por 4:
(2+Q)^2 = \dfrac{28}{3}\bigl(-2Q\bigr) = -\dfrac{56}{3}Q.
  • Multiplicando por 3 para eliminar denominador:
3(2+Q)^2 = -56Q.
  • Expandindo o quadrado:
3(Q^2 +4Q +4) = -56Q.
  • Desenvolvendo:
3Q^2 +12Q +12 = -56Q.
  • Reunindo termos em um lado:
3Q^2 +68Q +12 = 0.
  • Esta é uma equação quadrática. Calcule o discriminante:
\Delta = 68^2 - 4\cdot 3\cdot 12 = 4624 - 144 = 4480.
Note que 4480 = 64\cdot 70, então \sqrt{\Delta} = 8\sqrt{70}.
  • As raízes são
Q = \dfrac{-68 \pm 8\sqrt{70}}{2\cdot 3} = \dfrac{-34 \pm 4\sqrt{70}}{3}.

Passo 6

Verificação rápida das soluções (consistência com as condições do enunciado).
  • Avaliando o sinal e o efeito em q'=\dfrac{2+Q}{2}:
    1. Para Q=\dfrac{-34 + 4\sqrt{70}}{3} (valor aproximado Q\approx -0{,}178), temos Q<0 (portanto atração inicial ok) e
    q'=\dfrac{2+Q}{2}\approx \dfrac{2-0{,}178}{2}\approx 0{,}911>0,
    então as cargas finais são ambas positivas — consequentemente a força após ligação é repulsiva, como exigido.
    1. Para Q=\dfrac{-34 - 4\sqrt{70}}{3} (valor aproximado Q\approx -22{,}489), temos Q<0 (atração inicial ok) e
    q'=\dfrac{2+Q}{2}\approx \dfrac{2-22{,}489}{2}\approx -10{,}244<0,
    então as cargas finais são ambas negativas — também repulsivas entre si, como exigido.
Ambas as soluções satisfazem as condições do problema.

Resposta

Q=\dfrac{-34+4\sqrt{70}}{3}
Q=\dfrac{-34-4\sqrt{70}}{3}

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