1. Gotas de água caem do alto do poço de um elevador de 90 m de altura a uma taxa uniforme de uma gota a cada um segundo. Um elevador que sobe com velocidade constante de 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} é atingido por uma gota quando está a 10 m de altura.
    a) Após quanto tempo o elevador é atingido pela próxima gota?
    b) A que altura o elevador é atingido pela próxima gota?
Se necessário, use \sqrt{1996} \approx 44,7. E considere a aceleração da gravidade local g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Altura do poço (ponto de liberação das gotas): \,90\\ \mathrm{m}.
  • As gotas são liberadas do topo a uma taxa uniforme de uma gota a cada 1 segundo.
  • A aceleração da gravidade vale \,g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O elevador sobe com velocidade constante \,6\\ \mathrm{m/s}.
  • No instante que vamos chamar de t=0 o elevador está a 10\\ \mathrm{m} de altura e é atingido por uma gota.
  • Perguntas:
    (a) Após quanto tempo, a partir desse instante t=0, o elevador é atingido pela próxima gota?
    (b) A que altura (em metros) o elevador é atingido por essa próxima gota?

Passo 2

Escolho um sistema de referência temporal e espacial simples para escrever as equações de movimento.
  • Tempo: tomo t=0 no instante em que o elevador está a 10\\ \mathrm{m} e é atingido por uma gota.
  • Alturas medidas em metros a partir do chão (portanto topo do poço é 90\\ \mathrm{m}).
Equação do movimento do elevador (velocidade constante para cima, t\ge0):
y_{\text{e}}(t)=10+6t,
onde y_{\text{e}}(t) é a altura do elevador em metros no tempo t (em segundos).
Equação do movimento de uma gota que foi liberada no tempo t_r (com velocidade inicial zero, queda livre):
y_{\text{g}}(t)=90-\tfrac{1}{2}g\,(t-t_r)^2,
válida para t\ge t_r. Aqui t_r é o instante de liberação da gota e g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
Vou usar essas fórmulas para achar quando uma gota qualquer encontra o elevador, impondo y_{\text{g}}(t)=y_{\text{e}}(t).

Passo 3

Determinar quando a gota que atingiu o elevador em t=0 foi liberada (isso ajuda a localizar as demais gotas, já que são liberadas a cada 1 s).
Impondo y_{\text{g}}(0)=y_{\text{e}}(0)=10 e usando g=10:
90-\tfrac{1}{2}\cdot 10\,(0-t_r)^2=10.
Simplificando,
5 t_r^2 = 80 \quad\Rightarrow\quad t_r^2=16 \quad\Rightarrow\quad t_r= \pm 4.
Como a gota foi liberada antes do encontro em t=0, temos t_r=-4\\ \mathrm{s}. Ou seja, a gota que atingiu o elevador em t=0 foi liberada 4 s antes.

Passo 4

Como as gotas são liberadas a cada 1 s, os instantes de liberação são \dots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,\dots (segundos antes/depois de t=0). A gota que bateu em t=0 tinha t_r=-4. A próxima gota liberada depois dessa é a com t_r=-3. Para encontrar o próximo encontro após t=0 precisamos achar, entre as gotas com t_r=-3,-2,-1,0,\dots, qual tem a menor solução t>0 da equação y_{\text{g}}(t)=y_{\text{e}}(t). Vou montar a equação geral e depois testar os candidatos (começando por t_r=-3, que é o mais provável ser o próximo).

Passo 5

Montando a equação de encontro para uma gota liberada em um instante genérico t_r:
Impondo y_{\text{g}}(t)=y_{\text{e}}(t),
90-\tfrac{1}{2}g\,(t-t_r)^2 = 10+6t.
Com g=10 multiplico por 2 e reorganizo:
10(t-t_r)^2 +12t -160 =0.
Expandindo (t-t_r)^2:
10(t^2-2t t_r + t_r^2)+12t-160=0.
Agrupando termos em t:
10t^2 +(-20t_r+12)t + (10 t_r^2 -160)=0.
Dividindo por 2 para simplificar:
5t^2 +(-10t_r+6)t + (5 t_r^2 -80)=0.
Esta é a equação quadrática em t que dá os instantes de encontro (se existirem) entre a gota liberada em t_r e o elevador. Para cada t_r (com t_r\le t) resolvemos essa quadrática e tomamos a raiz t que satisfaz t>0 e t\ge t_r.

Passo 6

Agora faço para a gota liberada em t_r=-3 (essa é a imediatamente posterior à que já bateu em t=0).
Substituo t_r=-3 na quadrática:
5t^2 +36t -35=0.
Calculo o discriminante:
\Delta =36^2 -4\cdot 5\cdot(-35)=1296+700=1996.
Usamos a aproximação dada \sqrt{1996}\approx 44,7. As raízes são
t=\frac{-36\pm \sqrt{1996}}{10}.
As duas raízes numéricas são
t_1=\frac{-36+\sqrt{1996}}{10}\approx\frac{-36+44,7}{10}=\frac{8,7}{10}=0,87\\ \mathrm{s},
t_2=\frac{-36-\sqrt{1996}}{10}\approx -8,07\\ \mathrm{s}\\ (\text{descartada, é negativa}).é
A raiz positiva t\approx 0,87\\ \mathrm{s} é maior que t_r=-3, portanto fisicamente válida: a gota liberada em -3\\ \mathrm{s} encontra o elevador 0,87\\ \mathrm{s} após t=0.

Passo 7

Confirmação rápida de que não existe encontro antes de t\approx 0,87 por outra gota: por exemplo a gota com t_r=-2 dá (usando a mesma fórmula)
5t^2 +26t -60=0
cuja raiz positiva é (calculando o discriminante e a raiz) aproximadamente t\approx 1,73\\ \mathrm{s}, maior que 0,87\\ \mathrm{s}. Gotas liberadas em instantes ainda maiores (por exemplo t_r=-1,0,1,\dots) terão raízes ainda maiores. Portanto a próxima gota a atingir o elevador após t=0 é a que foi liberada em -3\\ \mathrm{s}, e o instante do encontro é
t=\frac{-36+\sqrt{1996}}{10}\approx 0,87\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Calcular a altura do elevador no instante desse encontro: usar y_{\text{e}}(t)=10+6t com t do passo anterior.
Expressão exata:
y=10+6\cdot\frac{-36+\sqrt{1996}}{10}=\frac{3\sqrt{1996}-58}{5}\\ \mathrm{m}.
Valor numérico usando \sqrt{1996}\approx 44,7:
y\approx 10+6\cdot 0,87 =10+5,22=15,22\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) \displaystyle t=\frac{-36+\sqrt{1996}}{10}\approx 0,87\\ \mathrm{s}
(b) \displaystyle y=\frac{3\sqrt{1996}-58}{5}\approx 15,22\\ \mathrm{m}

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