- Gotas de água caem do alto do poço de um elevador de 90 m de altura a uma taxa uniforme de uma gota a cada um segundo. Um elevador que sobe com velocidade constante de
é atingido por uma gota quando está a 10 m de altura.
a) Após quanto tempo o elevador é atingido pela próxima gota?
b) A que altura o elevador é atingido pela próxima gota?
Se necessário, use
. E considere a aceleração da gravidade local
.
a) Após quanto tempo o elevador é atingido pela próxima gota?
b) A que altura o elevador é atingido pela próxima gota?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Altura do poço (ponto de liberação das gotas):
. - As gotas são liberadas do topo a uma taxa uniforme de uma gota a cada
segundo. - A aceleração da gravidade vale
. - O elevador sobe com velocidade constante
. - No instante que vamos chamar de
o elevador está a de altura e é atingido por uma gota. - Perguntas:
(a) Após quanto tempo, a partir desse instante, o elevador é atingido pela próxima gota?
(b) A que altura (em metros) o elevador é atingido por essa próxima gota?
Passo 2
Escolho um sistema de referência temporal e espacial simples para escrever as equações de movimento.
- Tempo: tomo
no instante em que o elevador está a e é atingido por uma gota. - Alturas medidas em metros a partir do chão (portanto topo do poço é
).
Equação do movimento do elevador (velocidade constante para cima,
):
onde
é a altura do elevador em metros no tempo
(em segundos).
Equação do movimento de uma gota que foi liberada no tempo
(com velocidade inicial zero, queda livre):
válida para
. Aqui
é o instante de liberação da gota e
.
Vou usar essas fórmulas para achar quando uma gota qualquer encontra o elevador, impondo
.
Passo 3
Determinar quando a gota que atingiu o elevador em
foi liberada (isso ajuda a localizar as demais gotas, já que são liberadas a cada
s).
Impondo
e usando
:
Simplificando,
Como a gota foi liberada antes do encontro em
, temos
. Ou seja, a gota que atingiu o elevador em
foi liberada
s antes.
Passo 4
Como as gotas são liberadas a cada
s, os instantes de liberação são
(segundos antes/depois de
). A gota que bateu em
tinha
. A próxima gota liberada depois dessa é a com
. Para encontrar o próximo encontro após
precisamos achar, entre as gotas com
, qual tem a menor solução
da equação
. Vou montar a equação geral e depois testar os candidatos (começando por
, que é o mais provável ser o próximo).
Passo 5
Montando a equação de encontro para uma gota liberada em um instante genérico
:
Impondo
,
Com
multiplico por
e reorganizo:
Expandindo
:
Agrupando termos em
:
Dividindo por
para simplificar:
Esta é a equação quadrática em
que dá os instantes de encontro (se existirem) entre a gota liberada em
e o elevador. Para cada
(com
) resolvemos essa quadrática e tomamos a raiz
que satisfaz
e
.
Passo 6
Agora faço para a gota liberada em
(essa é a imediatamente posterior à que já bateu em
).
Substituo
na quadrática:
Calculo o discriminante:
Usamos a aproximação dada
. As raízes são
As duas raízes numéricas são
A raiz positiva
é maior que
, portanto fisicamente válida: a gota liberada em
encontra o elevador
após
.
Passo 7
Confirmação rápida de que não existe encontro antes de
por outra gota: por exemplo a gota com
dá (usando a mesma fórmula)
cuja raiz positiva é (calculando o discriminante e a raiz) aproximadamente
, maior que
. Gotas liberadas em instantes ainda maiores (por exemplo
) terão raízes ainda maiores. Portanto a próxima gota a atingir o elevador após
é a que foi liberada em
, e o instante do encontro é
Passo 8
Calcular a altura do elevador no instante desse encontro: usar
com
do passo anterior.
Expressão exata:
Valor numérico usando
:
Resposta
(a)
(b)
(b)