1. Em estudos de física nuclear, o modelo de explosão de bombas atômicas pode ser descrito por meio de uma relação empírica proposta por G. I. Taylor, que conecta a energia liberada E a algumas grandezas físicas características da propagação da onda de choque. Essa energia pode ser expressa pela seguinte equação:
E=C \rho^{\alpha} R^{\beta} t^{\gamma},
na qual \mathrm{C}, \alpha, \beta e \gamma são constantes adimensionais; \rho representa a densidade do ar; R , o raio da frente de choque da onda; e t o tempo de propagação da onda.
Com base na análise dimensional, determine:
a) os valores das constantes \alpha, \beta e \gamma.
b) estime a ordem de grandeza de R após \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} para uma explosão que libera \mathrm{E}=10^{12} \mathrm{~J} no ar de densidade \rho=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, considerando \mathrm{C} \approx 1.

Passo 1

O enunciado dá a relação empírica
E = C \rho^{\alpha} R^{\beta} t^{\gamma},
onde C,\alpha,\beta,\gamma são constantes adimensionais, \rho é a densidade do ar, R é o raio da frente de choque e t é o tempo. Ele pede duas coisas:
a) Determinar os valores de \alpha,\beta,\gamma usando análise dimensional.
b) Estimar a ordem de grandeza de R em t=1\\ \mathrm{s} para uma explosão com E=10^{12}\\ \mathrm{J}, \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} e C\approx 1.

Passo 2

Vamos fazer uma aulinha rápida sobre análise dimensional (com carinho): cada grandeza física tem dimensões básicas em massa, comprimento e tempo, que escrevemos como potências de M, L e T. Aqui usamos:
  • Energia E tem dimensão de trabalho: \mathrm{[E]} = M L^{2} T^{-2}.
  • Densidade \rho tem dimensão de massa por volume: \mathrm{[\rho]} = M L^{-3}.
  • Raio R tem dimensão de comprimento: \mathrm{[R]} = L.
  • Tempo t tem dimensão de tempo: \mathrm{[t]} = T.
    A ideia: as dimensões do lado esquerdo da equação devem coincidir com as do lado direito. Escrevemos isso em potências de M,L,T.

Passo 3

Escrevendo as dimensões de cada fator no produto do lado direito:
\mathrm{(direito)} = \mathrm{[\rho]}^{\alpha}\,\mathrm{[R]}^{\beta}\,\mathrm{[t]}^{\gamma} = \left(M L^{-3}\right)^{\alpha} \left(L\right)^{\beta} \left(T\right)^{\gamma}.
Isso equivale a
M^{\alpha}\,L^{-3\alpha + \beta}\,T^{\gamma}.
Igualamos as potências de M,L,T\) com as de \(\mathrm{[E]}=M^{1}L^{2}T^{-2}\). Assim obtemos o sistema de equações para os expoentes: \[\begin{cases} \text{(massa):} & 1 = \alpha,\\[4pt] \text{(comprimento):} & 2 = -3\alpha + \beta,\\[4pt] \text{(tempo):} & -2 = \gamma. \end{cases}
Agora resolvemos passo a passo:
  • Da equação da massa: \alpha = 1\]. - Substituindo \(\alpha=1 na equação do comprimento: 2 = -3\cdot 1 + \beta, então \beta = 2 + 3 = 5.
    - Da equação do tempo: \gamma = -2.
Portanto \alpha=1,\\ \beta=5,\\ \gamma=-2.]

Passo 4

Com os expoentes encontrados, a expressão fica
E = C\,\rho^{1}\,R^{5}\,t^{-2}.
Isolando R para poder estimá-lo:
R^{5} = \frac{E\,t^{2}}{C\,\rho},
logo
R = \left(\frac{E\,t^{2}}{C\,\rho}\right)^{1/5}.
Vale checar dimensionalmente: \frac{E\,t^{2}}{\rho} tem dimensão L^{5}, e a quinta raiz dá L — perfeito.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos (peguiei \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}, E=10^{12}\\ \mathrm{J}, t=1\\ \mathrm{s}, C\approx 1):
R = \left(\frac{10^{12}\cdot 1^{2}}{1\cdot 1{,}2}\right)^{1/5} = \left(\frac{10^{12}}{1{,}2}\right)^{1/5} = \left(8{,}333\ldots\times 10^{11}\right)^{1/5}.
Para calcular a quinta raiz, uso logaritmo decimal rápido: \log_{10}(8{,}333\times 10^{11})\approx 11{,}9208. Dividindo por 5 2{,}38416, então
R \approx 10^{2{,}38416}\\ \mathrm{m} \approx 2{,}42\times 10^{2}\\ \mathrm{m}.
Arredondando para ordem de grandeza, R\approx 2{,}4\times 10^{2}\\ \mathrm{m}, ou seja, algumas centenas de metros após 1\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Recapitulando de forma prática: usando análise dimensional achamos os expoentes e obtivemos a fórmula prática
R = \left(\frac{E\,t^{2}}{C\,\rho}\right)^{1/5},
que permite estimar o raio da onda de choque a partir da energia, densidade do ar e tempo. Para os números dados a resposta fica da ordem de centenas de metros — útil para ter uma intuição rápida na prova.

Resposta

a) \alpha=1,\\ \beta=5,\\ \gamma=-2
b) R\approx 2{,}4\times 10^{2}\\ \mathrm{m}

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