- Em estudos de física nuclear, o modelo de explosão de bombas atômicas pode ser descrito por meio de uma relação empírica proposta por G. I. Taylor, que conecta a energia liberada E a algumas grandezas físicas características da propagação da onda de choque. Essa energia pode ser expressa pela seguinte equação:
na qual
e
são constantes adimensionais;
representa a densidade do ar; R , o raio da frente de choque da onda; e t o tempo de propagação da onda.
Com base na análise dimensional, determine:
a) os valores das constantes
e
.
b) estime a ordem de grandeza de R após
para uma explosão que libera
no ar de densidade
, considerando
.
a) os valores das constantes
b) estime a ordem de grandeza de R após
Passo 1
O enunciado dá a relação empírica
onde
são constantes adimensionais,
é a densidade do ar,
é o raio da frente de choque e
é o tempo. Ele pede duas coisas:
a) Determinar os valores de usando análise dimensional.
b) Estimar a ordem de grandeza de em
para uma explosão com
,
e
.
a) Determinar os valores de
b) Estimar a ordem de grandeza de
Passo 2
Vamos fazer uma aulinha rápida sobre análise dimensional (com carinho): cada grandeza física tem dimensões básicas em massa, comprimento e tempo, que escrevemos como potências de
,
e
. Aqui usamos:
- Energia
tem dimensão de trabalho: . - Densidade
tem dimensão de massa por volume: . - Raio
tem dimensão de comprimento: . - Tempo
tem dimensão de tempo: .
A ideia: as dimensões do lado esquerdo da equação devem coincidir com as do lado direito. Escrevemos isso em potências de.
Passo 3
Escrevendo as dimensões de cada fator no produto do lado direito:
Isso equivale a
Igualamos as potências de
Agora resolvemos passo a passo:
- Da equação da massa:
na equação do comprimento:
, então .
- Da equação do tempo:.
Portanto
.]
Passo 4
Com os expoentes encontrados, a expressão fica
Isolando
para poder estimá-lo:
logo
Vale checar dimensionalmente:
tem dimensão
, e a quinta raiz dá
— perfeito.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos (peguiei
,
,
,
):
Para calcular a quinta raiz, uso logaritmo decimal rápido:
. Dividindo por
dá
, então
Arredondando para ordem de grandeza,
, ou seja, algumas centenas de metros após
.
Passo 6
Recapitulando de forma prática: usando análise dimensional achamos os expoentes e obtivemos a fórmula prática
que permite estimar o raio da onda de choque a partir da energia, densidade do ar e tempo. Para os números dados a resposta fica da ordem de centenas de metros — útil para ter uma intuição rápida na prova.
Resposta
a)
b)
b)