Em termos de diferença de potencial V, corrente elétrica I, permissividade \varepsilon_{0}, permeabilidade \mu_{0} e velocidade da luz c , dadas as equações abaixo,
I) \mu_{0} I^{2}=\varepsilon_{0} V^{2}
II) \varepsilon_{0} I=\mu_{0} V
III) I=\varepsilon_{0} c V
IV) \quad \mu_{0} c I=\varepsilon_{0} V
as equações dimensionalmente corretas são apenas:
a) lell
b) I e III
c) lelv
d) II e IV
e) II e III

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por análise dimensional, quais das quatro equações envolvendo a diferença de potencial V, a corrente elétrica I, a permissividade do vácuo \varepsilon_{0}, a permeabilidade do vácuo \mu_{0} e a velocidade da luz c são corretas em termos de dimensões.

Passo 2

Listamos as dimensões das grandezas no SI em termos das bases massa (M), comprimento (L), tempo (T) e corrente elétrica (I):
[V] = M\,L^{2}\,T^{-3}\,I^{-1}, \quad [I] = I, \quad [c] = L\,T^{-1},
[\varepsilon_{0}] = \frac{C^{2}}{N\,m^{2}} = M^{-1}\,L^{-3}\,T^{4}\,I^{2}, \quad [\mu_{0}] = \frac{N}{A^{2}} = M\,L\,T^{-2}\,I^{-2}.

Passo 3

Verificamos a equação I: \mu_{0}\,I^{2} = \varepsilon_{0}\,V^{2}.
LHS:
[\mu_{0}\,I^{2}] = (M\,L\,T^{-2}\,I^{-2})\,(I^{2}) = M\,L\,T^{-2}.
RHS:
[\varepsilon_{0}\,V^{2}] = (M^{-1}\,L^{-3}\,T^{4}\,I^{2}) \,(M^{2}\,L^{4}\,T^{-6}\,I^{-2}) = M\,L\,T^{-2}.
Como LHS = RHS, a equação I está correta.

Passo 4

Verificamos a equação II: \varepsilon_{0}\,I = \mu_{0}\,V.
LHS:
[\varepsilon_{0}\,I] = M^{-1}\,L^{-3}\,T^{4}\,I^{3}.
RHS:
[\mu_{0}\,V] = (M\,L\,T^{-2}\,I^{-2}) \,(M\,L^{2}\,T^{-3}\,I^{-1}) = M^{2}\,L^{3}\,T^{-5}\,I^{-3}.
As dimensões não coincidem, logo a equação II é incorreta.

Passo 5

Verificamos a equação III: I = \varepsilon_{0}\,c\,V.
RHS:
[\varepsilon_{0}\,c\,V] = (M^{-1}\,L^{-3}\,T^{4}\,I^{2}) \,(L\,T^{-1}) \,(M\,L^{2}\,T^{-3}\,I^{-1}) = I.
Como RHS tem dimensão de corrente I, igual à LHS, a equação III está correta.

Passo 6

Verificamos a equação IV: \mu_{0}\,c\,I = \varepsilon_{0}\,V.
LHS:
[\mu_{0}\,c\,I] = (M\,L\,T^{-2}\,I^{-2}) \,(L\,T^{-1}) \,(I) = M\,L^{2}\,T^{-3}\,I^{-1}.
RHS:
[\varepsilon_{0}\,V] = M^{-1}\,L^{-3}\,T^{4}\,I^{2} \,(M\,L^{2}\,T^{-3}\,I^{-1}) = L^{-1}\,T^{1}\,I^{1}.
Como as dimensões não coincidem, a equação IV é incorreta.

Passo 7

Das quatro equações, apenas as I e III são dimensionais­mente corretas.

Resposta

b) I e III

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