Duas esferas, ligadas por um fio esticado (sob tração) na vertical, formam um sistema que flutua num líquido. A esfera 1 está totalmente submersa enquanto que a esfera 2 tem uma parte (menos que 100 \% ) do seu volume submerso. A densidade da esfera 2 é um terço da densidade da esfera 1. Que relação deve existir entre a densidade da esfera 2 e a densidade do líquido, se esferas tiverem o mesmo raio? O único dado do problema é \rho_{0} (densidade do líquido). Suponha a massa e o volume do fio desprezíveis.
36) Uma esfera flutua, estaticamente, num fluido cuja densidade (constante) vale \rho. Esta esfera é formada por dois hemisférios. Se o hemisfério 1 fosse jogado no fluido, flutuaria com 50 \% do seu volume

Passo 1

Temos duas esferas idênticas (mesmo raio, volume V) ligadas por fio leve, flutuando em líquido de densidade \rho_{0}. A esfera 1 (densidade \rho_{1}) está totalmente submersa e a esfera 2 (densidade \rho_{2}=\tfrac13\,\rho_{1}) está parcialmente submersa, com fração f de seu volume abaixo da superfície. Vamos aplicar o equilíbrio (forças verticais) em cada esfera.

Passo 2

Equilíbrio da esfera 1 (forças para cima: empuxo B_{1} e tensão T; para baixo: peso W_{1}):
B_{1}+T=W_{1} \quad\Longrightarrow\quad \rho_{0}Vg+T=\rho_{1}Vg \quad\Longrightarrow\quad T=(\rho_{1}-\rho_{0})Vg.

Passo 3

Equilíbrio da esfera 2 (empuxo B_{2} para cima; peso W_{2} e tensão T para baixo):
B_{2}=W_{2}+T \quad\Longrightarrow\quad \rho_{0}(fV)g=\rho_{2}Vg+(\rho_{1}-\rho_{0})Vg \quad\Longrightarrow\quad \rho_{0}f=\rho_{1}+\rho_{2}-\rho_{0}.

Passo 4

Da expressão acima isolamos f:
f=\frac{\rho_{1}+\rho_{2}}{\rho_{0}}-1.
Como a esfera 2 está parcialmente submersa, temos 0<f<1. Então:
  1. f>0;⇒; \rho_{1}+\rho_{2}>\rho_{0}.
  2. f<1;⇒; \rho_{1}+\rho_{2}<2\,\rho_{0}.

Passo 5

Substituindo \rho_{2}=\tfrac13\,\rho_{1} em \rho_{1}+\rho_{2}=\tfrac{4}{3}\,\rho_{1}:
  1. \tfrac{4}{3}\,\rho_{1}>\rho_{0};⇒; \rho_{1}>\tfrac{3}{4}\,\rho_{0};⇒; \rho_{2}=\tfrac13\rho_{1}>\tfrac{1}{4}\,\rho_{0}. 2. \tfrac{4}{3}\,\rho_{1}<2\,\rho_{0};⇒; \rho_{1}<\tfrac{3}{2}\,\rho_{0};⇒; \rho_{2}<\tfrac{1}{2}\,\rho_{0}.

Resposta

A densidade da esfera 2 deve satisfazer
\boxed{\frac{1}{4}\,\rho_{0}<\rho_{2}<\frac{1}{2}\,\rho_{0}}.
Não é possível resolver o problema 36 pois o enunciado está incompleto.

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