Uma esfera flutua, estaticamente, num fluido cuja densidade (constante) vale \rho. Esta esfera é formada por dois hemisférios. Se o hemisfério 1 fosse jogado no fluido, flutuaria com 50 \% do seu volume
submerso. Baseado nestas informações responda: Qual será o máximo valor admissível para a densidade do hemisfério 2 ?

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera composta por dois hemisférios de mesmo volume V, imersa num fluido de densidade \rho. Sozinho, o hemisfério 1 flutuaria com 50\% de seu volume submerso. Precisamos encontrar o maior valor da densidade \rho_2 do hemisfério 2 para que a esfera completa ainda flutue estaticamente.

Passo 2

Para o hemisfério 1 isolado vale a condição de equilíbrio entre peso e empuxo:
\rho_1\,V\,g \;=\;\rho\,\bigl(\tfrac{V}{2}\bigr)\,g
Cancelando Vg, obtemos
\rho_1 \;=\;\frac{\rho}{2}.

Passo 3

Na esfera completa o volume total é 2V e o peso total é
W=(\rho_1+\rho_2)\,V\,g.
Para flutuar sem afundar totalmente, o volume médio submerso pode chegar até 2V. Em termos de densidade média \bar\rho da esfera, o fração submersa seria \bar\rho/\rho\le1. Logo a condição de flutuação é
\bar\rho \;=\;\frac{\rho_1+\rho_2}{2}\;\le\;\rho.

Passo 4

Da desigualdade
\frac{\rho_1+\rho_2}{2}\le\rho
segue
\rho_1+\rho_2\le2\,\rho \quad\Longrightarrow\quad \rho_2\le2\,\rho-\rho_1.
Substituindo \rho_1=\tfrac{\rho}{2} vem
\rho_2\le2\,\rho-\tfrac{\rho}{2} =\tfrac{3\rho}{2}.

Resposta

O valor máximo admissível é
\rho_2^{\max}=\frac{3}{2}\,\rho.

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