Mostre que a equação que relaciona as escalas termométricas entre si deriva do uso do Teorema de Tales

Passo 1

O enunciado nos pede para obter a fórmula que relaciona duas escalas termométricas, digamos \theta e t, a partir do Teorema de Tales. Vamos usar como pontos de referência os estados de gelo \theta_1, t_1 e ebulição \theta_2, t_2 da água em cada escala, e o Teorema de Tales para duas retas paralelas cortadas por transversais.

Passo 2

Considere duas retas paralelas r e r' e duas transversais que as interceptam. Na reta r, marcamos
A como o ponto de gelo \theta=\theta_1,
B como o ponto de ebulição \theta=\theta_2,
X como o ponto correspondente a uma temperatura genérica \theta.
Na reta r', marcamos
A' como o ponto de gelo t=t_1,
B' como o ponto de ebulição t=t_2,
Y como o ponto correspondente a uma temperatura t.
Pelo Teorema de Tales aplicado a essas duas transversais e retas paralelas, vale
\frac{AX}{AB} \;=\;\frac{A'Y}{A'B'}.

Passo 3

Agora expressamos cada segmento em termos de temperaturas:
AX = \theta - \theta_1, \quad AB = \theta_2 - \theta_1, \quad A'Y = t - t_1, \quad A'B' = t_2 - t_1.
Substituindo na proporção do Teorema de Tales, obtemos
\frac{\theta - \theta_1}{\theta_2 - \theta_1} \;=\; \frac{t - t_1}{t_2 - t_1}.

Passo 4

Isolando t na igualdade acima, temos
t - t_1 = (t_2 - t_1)\,\frac{\theta - \theta_1}{\theta_2 - \theta_1}
e, portanto, a relação geral entre as escalas é
t = t_1 \;+\;\frac{t_2 - t_1}{\theta_2 - \theta_1}\,(\theta - \theta_1).

Passo 5

Para ilustrar, entre Celsius \theta e Fahrenheit t temos \theta_1=0, \theta_2=100, t_1=32, t_2=212. Logo,
t = 32 + \frac{212-32}{100-0}\,\theta = 32 + \frac{180}{100}\,\theta = 32 + \tfrac{9}{5}\,\theta.

Resposta

A fórmula geral entre duas escalas \theta e t é
t = t_1 + \frac{t_2 - t_1}{\theta_2 - \theta_1}\,(\theta - \theta_1),
e, em particular, entre Celsius e Fahrenheit:
t = 32 + \frac{9}{5}\,\theta.

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