Duas esferas metálicas concêntricas de raios
têm cargas elétricas
e
. Determine a diferença de potencial entre as esferas e a capacitância do capacitor esférico formado por elas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas esferas metálicas que ficam uma dentro da outra, chamadas de concêntricas. A esfera maior tem raio $ R_1 $ e carga $ +q $, enquanto a menor tem raio $ R_2 $ e carga $ -q $. Nosso objetivo é descobrir duas coisas: a diferença de potencial elétrico entre elas e a capacitância desse “capacitor esférico” formado pelas esferas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre potencial elétrico e capacitância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é potencial elétrico. É como a “pressão” que empurra as cargas elétricas. Para uma esfera carregada, o potencial $ V $ a uma distância $ r $ do centro é dado por:
onde $ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $, $ Q $ é a carga e $ r $ é a distância do centro.
Passo 3
Agora, vamos calcular o potencial na superfície de cada esfera. Para a esfera maior ($ R_1 $) com carga $ +q $:
E para a esfera menor ($ R_2 $) com carga $ -q $:
Passo 4
A diferença de potencial $ \Delta V $ entre as duas esferas é simplesmente $ V_1 - V_2 $:
Simplificando:
Passo 5
Para achar a capacitância $ C $ do capacitor esférico, usamos a relação entre carga e diferença de potencial:
Substituindo $ \Delta V $ que encontramos:
Simplificando a fração:
Lembrando que $ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $, então:
Resposta
A diferença de potencial entre as esferas é $ \Delta V = k \cdot q \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) $ e a capacitância do capacitor esférico formado por elas é $ C = 4\pi\epsilon_0 \cdot \frac{R_1 R_2}{R_1 - R_2} $.