Duas espiras circulares concêntricas, de 1 m de raio cada uma, estão localizadas em planos perpendiculares. Calcule a intensidade do campo magnético no centro das espiras, sabendo que cada espira conduz 5 A . ( \mu_{\mathrm{o}}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{Tm} / \mathrm{A} )

Passo 1

O enunciado pede a intensidade do campo magnético no centro de duas espiras circulares concêntricas, cada uma com raio e corrente dadas. Informações fornecidas:
\text{raio de cada espira } R = 1\\ \mathrm{m}
\text{corrente em cada espira } I = 5\\ \mathrm{A}
\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7}\\ \mathrm{T\,m/A}
As espiras estão em planos perpendiculares e concentricas (mesmo centro). Queremos o módulo do campo magnético resultante no ponto central comum.

Passo 2

Vamos lembrar (e mostrar) como calcular o campo magnético produzido por uma única espira circular no seu centro. A lei que usamos é a lei de Biot–Savart. Em forma diferencial ela diz:
\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{I\,\mathrm{d}\vec{\ell}\times \hat{r}}{r^{2}}.
Explicando cada termo:
\mu_{0}\text{ é a permeabilidade do vácuo (dada),}éá
I\text{ é a corrente que percorre a espira,}é
\mathrm{d}\vec{\ell}\text{ é um elemento de comprimento da espira (vetorial, tangente ao fio),}é
\hat{r}\text{ é o versor que aponta do elemento até o ponto onde calculamos } \vec{B},éé
r\text{ é a distância entre o elemento e o ponto}.éâ
No centro da espira a distância de qualquer elemento até o centro é constante e vale R. Além disso, o ângulo entre \mathrm{d}\vec{\ell} e \hat{r} é 90^\circ, então |\mathrm{d}\vec{\ell}\times \hat{r}|=|\mathrm{d}\ell|=\mathrm{d}\ell. Substituindo e integrando ao longo da circunferência obtemos:
B_{\text{espira}}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{I}{R^{2}}\int_{\text{circunf}} \mathrm{d}\ell.
O comprimento total da circunferência é 2\pi R, logo
B_{\text{espira}}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{I}{R^{2}}\cdot 2\pi R.
Simplificando os fatores:
B_{\text{espira}}=\frac{\mu_{0}I}{2R}.
Essa fórmula dá o módulo do campo no centro da espira e a direção é ao longo do eixo perpendicular ao plano da espira, seguindo a regra da mão direita (dedo indicador no sentido da corrente, polegar aponta a direção do campo no centro).

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula à nossa espira com os valores dados. Primeiro o campo de uma espira:
B_{\text{uma}}=\frac{\mu_{0}I}{2R}.
Substituindo \mu_{0}=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\,m/A}, I=5\\ \mathrm{A} e R=1\\ \mathrm{m}:
B_{\text{uma}}=\frac{4\pi\times 10^{-7}\cdot 5}{2\cdot 1}.
Calcule passo a passo:
4\pi\times 10^{-7}\cdot 5 = 20\pi\times 10^{-7},
\frac{20\pi\times 10^{-7}}{2} = 10\pi\times 10^{-7}.
Reescrevendo em potência de 10:
10\pi\times 10^{-7} = \pi\times 10^{-6}.
Portanto, o módulo do campo produzido por cada espira no centro é
B_{\text{uma}}=\pi\times 10^{-6}\\ \mathrm{T}\approx 3,1416\times 10^{-6}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

Como as espiras estão em planos perpendiculares, os campos que cada uma produz no centro são vetores perpendiculares entre si, de mesma magnitude B_{\text{uma}}. Para obter o campo resultante fazemos a soma vetorial de dois vetores perpendiculares e iguais em módulo; o módulo do resultado é dado pelo teorema de Pitágoras:
B_{\text{total}}=\sqrt{B_{\text{uma}}^{2}+B_{\text{uma}}^{2}}=B_{\text{uma}}\sqrt{2}.

Passo 5

Substituindo o valor encontrado para B_{\text{uma}}:
B_{\text{total}}=\left(\pi\times 10^{-6}\right)\sqrt{2}=\sqrt{2}\,\pi\times 10^{-6}\\ \mathrm{T}.
Valor numérico aproximado:
\sqrt{2}\,\pi\approx 1,41421356\times 3,14159265 \approx 4,44288294,
então
B_{\text{total}}\approx 4,44288294\times 10^{-6}\\ \mathrm{T}\approx 4,44\times 10^{-6}\\ \mathrm{T}.

Resposta

\sqrt{2}\,\pi\times 10^{-6}\\ \mathrm{T}\n
\approx 4,44\times 10^{-6}\\ \mathrm{T}

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