Questão 04) Uma partícula com carga q=-4 \mathrm{nC} move-se com velocidade \vec{v}=2,5 \times 10^{4} \hat{i}+1,1 \times 10^{4} \hat{j} \mathrm{m} / \mathrm{s}, em uma região com campo magnético \vec{B}=1,2 \times 10^{-3} \hat{i}+5,6 \times 10^{-3} \hat{j}-3,2 \times 10^{-3} \hat{k} T. Determine: a) a magnitude da força magnética que atua sobre a partícula e b) o ângulo formado entre a força magnética e o eixo z.

Passo 1

O enunciado nos dá uma partícula de carga \,q=-4\times10^{-9}\mathrm{\,C} movendo-se com velocidade
\displaystyle \vec v = 2{,}5\times10^{4}\,\hat i + 1{,}1\times10^{4}\,\hat j
em um campo magnético
\displaystyle \vec B = 1{,}2\times10^{-3}\,\hat i + 5{,}6\times10^{-3}\,\hat j - 3{,}2\times10^{-3}\,\hat k.
Queremos a) a magnitude da força magnética \vec F = q\,\vec v\times\vec B e b) o ângulo que essa força faz com o eixo z. Para isso precisamos calcular o produto vetorial \vec v\times\vec B, depois a magnitude de \vec F e finalmente usar o cosseno diretor em relação ao eixo z.

Passo 2

Calcular cada componente de \displaystyle \vec v\times\vec B pelo determinante ou pelas fórmulas:
(\vec v\times\vec B)_x = v_y\,B_z - v_z\,B_y = (1{,}1\times10^{4})(-3{,}2\times10^{-3}) - 0\cdot(5{,}6\times10^{-3}) = -35{,}2
(\vec v\times\vec B)_y = v_z\,B_x - v_x\,B_z = 0\cdot(1{,}2\times10^{-3}) - (2{,}5\times10^{4})(-3{,}2\times10^{-3}) = +80
(\vec v\times\vec B)_z = v_x\,B_y - v_y\,B_x = (2{,}5\times10^{4})(5{,}6\times10^{-3}) - (1{,}1\times10^{4})(1{,}2\times10^{-3}) = 126{,}8
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\displaystyle \vec v\times\vec B = -35{,}2\,\hat i + 80\,\hat j + 126{,}8\,\hat k.

Passo 3

A magnitude de \vec v\times\vec B é
\bigl|\vec v\times\vec B\bigr| = \sqrt{(-35{,}2)^2 + 80^2 + (126{,}8)^2} \approx 154{,}0.
Como \vec F=q\,\vec v\times\vec B, a magnitude de \vec F vale
|\vec F| = |q|\,\bigl|\vec v\times\vec B\bigr| = 4\times10^{-9}\times154{,}0 =6{,}16\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Para achar o ângulo \theta entre \vec F e o eixo z, usamos o cosseno diretor
F_z = q\,(v_xB_y - v_yB_x) = -4\times10^{-9}\times126{,}8 = -5{,}072\times10^{-7}\\ \mathrm{N},
\cos\theta =\frac{F_z}{|\vec F|} =\frac{-5{,}072\times10^{-7}}{6{,}16\times10^{-7}} \approx -0{,}823,
\theta = \operatorname{arccos}(-0{,}823)\approx145{,}3^\circ.
Se for considerado o menor ângulo entre a direção de \vec F e o eixo z, toma-se o valor agudo
\displaystyle 180^\circ - 145{,}3^\circ = 34{,}7^\circ.

Resposta

a) \;6{,}16\times10^{-7}\mathrm{\,N}.
b) \;145{,}3^\circ (ou, em termos do ângulo agudo com o eixo z, \;34{,}7^\circ).

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