Duas forças \vec{F}_{1} e \vec{F}_{2}, atuam sobre um ponto. O módulo de \vec{F}_{1} é de 9 N , e sua direção forma um ângulo de 60^{\circ} acima do eixo x no segundo quadrante. O módulo de \vec{F}_{2} é igual a 6 N , e sua direção forma um ângulo de 50^{\circ} abaixo do eixo x no terceiro quadrante.
(a) Quais são as componentes x e y da força resultante?
(b) Qual é o módulo e a direção da força resultante?

Passo 1

O enunciado dá duas forças e pede: (a) as componentes x e y da força resultante; (b) o módulo e a direção da força resultante. Informações fornecidas:
\vec{F}_1 tem módulo 9\\ \text{N} e está no segundo quadrante fazendo 60^\circ acima do eixo x (ou seja, formando ângulo de 120^\circ medido a partir do eixo x positivo no sentido anti-horário).
\vec{F}_2 tem módulo 6\\ \text{N} e está no terceiro quadrante fazendo 50^\circ abaixo do eixo x (ou seja, formando ângulo de 180^\circ+50^\circ=230^\circ medido a partir do eixo x positivo no sentido anti-horário).

Passo 2

Relembrando como decompor uma força em componentes: se uma força tem módulo F e forma um ângulo \theta medido a partir do eixo x positivo (sentido anti-horário), suas componentes são
F_x = F\cos\theta,\qquad F_y = F\sin\theta.
Aqui F_x é a componente horizontal (positiva para a direita) e F_y é a componente vertical (positiva para cima). Vou aplicar isso a \vec{F}_1 e \vec{F}_2.

Passo 3

Decompondo \vec{F}_1. Usamos \theta_1 = 120^\circ.
F_{1x}=9\cos(120^\circ),\qquad F_{1y}=9\sin(120^\circ).
Sabemos valores trigonométricos: \cos(120^\circ)=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos(60^\circ)=-\tfrac{1}{2} e \sin(120^\circ)=\sin(180^\circ-60^\circ)=\sin(60^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto,
F_{1x}=9\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{9}{2}=-4,5\\ \text{N},
F_{1y}=9\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\tfrac{9\sqrt{3}}{2}\approx 7,794\\ \text{N}.
(Expliquei cada passo: usei identidades \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha e \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha.)

Passo 4

Decompondo \vec{F}_2. Usamos \theta_2=230^\circ.
F_{2x}=6\cos(230^\circ),\qquad F_{2y}=6\sin(230^\circ).
Usamos fórmulas para ângulos do tipo 180^\circ+\alpha: \cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha e \sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha. Tomando \alpha=50^\circ,
\cos(230^\circ)=-\cos(50^\circ),\qquad \sin(230^\circ)=-\sin(50^\circ).
Assim,
F_{2x}=6\big(-\cos(50^\circ)\big)=-6\cos(50^\circ),
F_{2y}=6\big(-\sin(50^\circ)\big)=-6\sin(50^\circ).
Usando aproximações \cos(50^\circ)\approx 0,6428 e \sin(50^\circ)\approx 0,7660,
F_{2x}\approx -6\cdot 0,6428\approx -3,857\\ \text{N},
F_{2y}\approx -6\cdot 0,7660\approx -4,596\\ \text{N}.

Passo 5

Somando as componentes para obter a força resultante \vec{R}=\vec{F}_1+\vec{F}_2:
R_x = F_{1x}+F_{2x} = -4,5 + (-3,857) \approx -8,357\\ \text{N},
R_y = F_{1y}+F_{2y} \approx 7,794 + (-4,596) \approx 3,198\\ \text{N}.
Arredondando com duas casas decimais (convenção usada aqui): R_x\approx -8,36\\ \text{N} e R_y\approx 3,20\\ \text{N}.

Passo 6

Cálculo do módulo da resultante usando o teorema de Pitágoras (a norma de um vetor em 2D):
|\vec{R}|=\sqrt{R_x^2+R_y^2}.
Substituindo os valores numéricos:
|\vec{R}|\approx\sqrt{(-8,357)^2+(3,198)^2}\approx\sqrt{69,865+10,227}\approx\sqrt{80,092}\approx 8,949\\ \text{N}.
Arredondando: |\vec{R}|\approx 8,95\\ \text{N}.

Passo 7

Cálculo da direção da resultante. A direção (ângulo \theta_R) medida a partir do eixo x positivo no sentido anti-horário pode ser obtida de
\theta_R=\operatorname{atan2}(R_y,R_x).
Como aqui R_x<0 e R_y>0, o vetor está no segundo quadrante. Uma forma prática é calcular o ângulo de referência
\varphi=\arctan\left(\left|\frac{R_y}{R_x}\right|\right)=\arctan\left(\frac{3,198}{8,357}\right)\approx \arctan(0,3826)\approx 20,96^\circ.
No segundo quadrante o ângulo medido a partir do eixo positivo é
\theta_R=180^\circ-\varphi\approx 180^\circ-20,96^\circ=159,04^\circ.
Então a direção é \theta_R\approx 159,04^\circ (medida a partir do eixo x positivo, sentido anti-horário), ou equivalentemente 20,96^\circ acima do eixo x negativo.

Resposta

(a) R_x=-8,36\\ \text{N},\quad R_y=3,20\\ \text{N}
(b) |\vec{R}|=8,95\\ \text{N},\quad \theta_R=159,04^\circ

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