Duas formigas cada uma com massa m estāo na borda de um disco homogêneo de massa 4,00 m que pode girar livremente em torno do centro como um carrosel. Inicialmente, as formigas e o disco giram juntos com uma velocidade angular de 0,260 rad / s. As formigas caminham até metade da distância ao centro do disco.
(a) Qual é, nesse instante, a velocidade angular do sistema formigas-disco?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: temos um disco homogêneo de massa e raio , girando livremente com duas formigas (cada uma de massa ) na sua borda. No começo, tudo gira junto com . Aí as formigas andam até . A pergunta é: qual é a nova velocidade angular do conjunto?
Conteúdo: conservação do momento angular. Vamos precisar saber calcular momento de inércia de um disco e de partículas pontuais, e usar .

Passo 2

Calcular o momento de inércia inicial Idisco = tfrac12 (4m) R^2 = 2mR^2:
  1. Disco homogêneo de massa Iformigas = 2,(mR^2) = 2mR^2 e raio Ii = Idisco + Iformigas = 2mR^2 + 2mR^2 = 4mR^2:
  2. Duas formigas como partículas pontuais na borda ( ): cada uma tem , então
Logo

Passo 3

Calcular o momento de inércia final Icada formiga = ml(tfracR2r)^2 = tfracmR^24,, quando as formigas estão a Iformigas = 2cdot tfracmR^24 = tfracmR^22:
  1. Disco continua com If = 2mR^2 + tfracmR^22 = tfrac52,mR^2 = 2,5,mR^2.
  2. Cada formiga agora a vale e como são duas:
Logo

Passo 4

Usar conservação do momento angular (não há torque externo):
Li = Ii,omega0 = Lf = If,omega
Então
omega = IiIf,omega0 = 4mR^22,5,mR^2times 0,260 rad/s = 42,5times 0,260
Fazendo a conta:
42,5 = 1,6,
então
omega = 1,6 times 0,260 = 0,416 rad/s

Resposta

A nova velocidade angular do sistema é .

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