Sejam
funções tendo derivadas
. Desenvolva uma regra para diferenciar o produto
e prove esta por indução. Mostre que para os pontos
, onde nenhum dos valores
são nulos, temos
Passo 1
O enunciado dá as funções diferenciáveis
com derivadas
. Define-se a função produto
O que se pede:
- Desenvolver (escrever) uma regra geral para
, isto é, uma expressão para a derivada do produto de funções. - Provar essa regra por indução.
- Mostrar que, nos pontos
onde nenhum dos valores é zero, vale
Informações relevantes dadas:
- Cada
é diferenciável (logo contínua) em seu domínio. - As derivadas
existem para os pontos considerados. - Para a segunda parte (a identidade com divisão por
) é necessário que para todo , para que as divisões sejam bem-definidas.
Passo 2
Lembrete/mini-aula: regra do produto para duas funções e sua prova elementar.
- Regra do produto para duas funções: se
e são diferenciáveis, então
- Prova (pela definição de derivada): escrevendo a diferença incremental,
Ao fazer
, temos
pela continuidade de
, e os quocientes nas frações convergem para
e
. Portanto
Este resultado é a base que usaremos na indução. É importante entender que justificamos a passagem ao limite usando continuidade e existência das derivadas.
Passo 3
Estratégia de indução: vamos provar a fórmula para
por indução em
.
Base da indução:
- Para
a afirmação é trivial: e , que é a forma desejada (soma com um só termo). - Para
já mostramos a regra do produto no Passo 2, ou seja
Portanto a base está satisfeita.
Hipótese de indução:
- Suponha que a fórmula verdadeira para
funções seja
Aqui cada termo da soma é o produto de todas as
em que exatamente
foi substituída por
.
Passo 4
Passo indutivo (de
para
):
- Considere
. Escreva com . - Aplicando a regra do produto (Passo 2) a
e ,
- Substitua
pela expressão dada pela hipótese de indução:
- Agora distribua
pelos termos da soma: cada termo da soma torna-se
ou seja, o produto de todas as
com
substituída por
, agora indo de
até
.
- O último termo da expressão original já é exatamente o caso
:
- Somando tudo, obtemos
Isto completa o passo indutivo: se a fórmula vale para
então vale para
. Juntando com a base, a fórmula é válida para todo
.
Passo 5
Interpretação e escrita clara da regra final:
A regra geral para a derivada do produto é
A regra geral para a derivada do produto
Em palavras: para obter
soma-se
termos; no
-ésimo termo diferencia-se apenas
e deixa-se os outros
intactos, multiplicando todos.
Passo 6
Provar a identidade com divisão (derivada logarítmica):
- Suponha que, num ponto fixo
, nenhum dos valores seja zero. Então e é permitido dividir por . - Divida a expressão de
obtida no Passo 5 por . Para cada termo da soma (o termo correspondente a ) temos
pois todos os outros fatores
(com
) cancelam.
- Portanto ao dividir toda a soma pelo produto total obtemos
- Observação alternativa (intuitiva): quando
pode-se também escrever e usar derivação de logaritmos para obter . Usando (pois transforma produto em soma) e derivando cada obtém-se a mesma soma . Mas a derivação direta por cancelamento (acima) é totalmente elementar e não exige a teoria dos logaritmos diferenciáveis.
Passo 7
Exemplo ilustrativo (para fixar a ideia):
- Tome
, , . Então
Usando a regra dos passos, os termos para
são:
Somando,
Se
e
(para que nenhum
seja zero), então
que de fato é
.