Duas hastes não condutoras de 1,20 m de comprimento se encontram em um ângulo reto e, com cargas uniformemente distribuídas ao longo de seus comprimentos. Uma haste possui +6,50 mu C, e a outra possui -6,50 mu C.
  • Determine:
  • a) O campo elétrico no ponto P;
  • b) Se um próton for colocado no ponto P, qual a força resultante que essas hastes exercem sobre ele?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas hastes não condutoras de 1,20 metros cada, que se encontram formando um ângulo de 90 graus. Uma dessas hastes tem uma carga positiva de +6,50 , mu C e a outra tem uma carga negativa de -6,50 , mu C , distribuídas de forma uniforme ao longo de seus comprimentos. Nosso objetivo aqui é determinar:
a) O campo elétrico no ponto P ;
b) A força que essas cargas exerceriam sobre um próton colocado no ponto P .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, mais especificamente o cálculo do campo elétrico devido a distribuições contínuas de carga e a aplicação da segunda lei de Newton para encontrar a força.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo elétrico. O campo elétrico ( E ) é uma região ao redor de uma carga elétrica onde outra carga sofre uma força. Ele é definido como a força por unidade de carga, ou seja:
E = Fq
Onde:
  • E é o campo elétrico,
  • F é a força,
  • q é a carga de prova.
No nosso caso, queremos encontrar o campo elétrico no ponto P devido às duas hastes carregadas.

Passo 3

Como as cargas estão distribuídas uniformemente ao longo das hastes, podemos modelar cada haste como uma distribuição linear de carga. A densidade linear de carga ( lambda ) é dada por:
lambda = QL
Onde:
  • Q é a carga total,
  • L é o comprimento da haste.
Vamos calcular lambda para as hastes positiva e negativa.

Passo 4

Para a haste positiva:
lambda+ = 6,50 times 10^-6 , C1,20 , m = 5,42 times 10^-6 , C/m
Para a haste negativa:
lambda- = -6,50 times 10^-6 , C1,20 , m = -5,42 times 10^-6 , C/m

Passo 5

Agora, vamos considerar o ponto P . Supondo que P seja o ponto onde as duas hastes se encontram (a origem do nosso sistema de coordenadas), precisamos calcular o campo elétrico devido a cada haste nesse ponto e depois somá-los vetorialmente.
Como as hastes estão em ângulo reto, vamos supor que uma está ao longo do eixo x e a outra ao longo do eixo y.

Passo 6

O campo elétrico devido a uma haste infinitesimal dx com carga dQ = lambda dx a uma distância r é dado por:
dE = 14pi varepsilon0 cdot dQr^2 cdot r
Onde:
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo ( 8,85 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2) ),
  • r é o vetor unitário na direção de r .
Mas nesse caso, como as hastes se encontram em P , precisamos integrar ao longo do comprimento das hastes.

Passo 7

Vamos calcular o campo elétrico total no ponto P somando os campos elétricos das duas hastes.
Para a haste positiva ao longo do eixo x:
Ex = integral-L/2^L/2 14pi varepsilon0 cdot lambda+ dxx^2 cdot x
Para a haste negativa ao longo do eixo y:
Ey = integral-L/2^L/2 14pi varepsilon0 cdot lambda- dyy^2 cdot y
Onde L = 1,20 , m .

Passo 8

Resolvendo as integrais:
Ex = lambda+4pi varepsilon0 integral-0,60^0,60 dxx^2
Ey = lambda-4pi varepsilon0 integral-0,60^0,60 dyy^2
No entanto, essas integrais são impraticáveis devido à singularidade em x = 0 e y = 0 . Isso sugere que o ponto P está em uma posição diferente, provavelmente distante das hastes, o que simplifica os cálculos.

Passo 9

Vamos então considerar que o ponto P está a uma distância d de cada haste, em uma posição onde podemos aproximar o campo elétrico usando a fórmula para uma linha infinita de carga:
E = lambda2pi varepsilon0 d
Assumindo que d é suficientemente grande em relação ao comprimento das hastes, podemos usar essa aproximação.

Passo 10

Com isso, os campos elétricos das duas hastes neste ponto P serão perpendiculares entre si, já que as hastes estão em ângulo reto.
Então, o campo resultante será a soma vetorial dos dois campos:
Etotal = raizEx^2 + Ey^2

Passo 11

Substituindo os valores:
Ex = 5,42 times 10^-62pi times 8,85 times 10^-12 times d
Ey = 5,42 times 10^-62pi times 8,85 times 10^-12 times d
Como Ex = Ey , então:
Etotal = raiz2 times Ex

Passo 12

Agora, vamos calcular Etotal :
Etotal = raiz2 times 5,42 times 10^-62pi times 8,85 times 10^-12 times d
Simplificando:
Etotal = raiz2 times 5,42 times 10^-62pi times 8,85 times 10^-12 times d

Passo 13

Agora, precisamos do valor de d para calcular numericamente o campo elétrico. Como não foi fornecida uma distância específica, vamos assumir que d = 1,00 , m para exemplificar o cálculo.
Substituindo d = 1,00 , m :
Etotal = raiz2 times 5,42 times 10^-62pi times 8,85 times 10^-12 times 1,00

Passo 14

Calculando os valores:
Etotal = 1,414 times 5,42 times 10^-62 times 3,1416 times 8,85 times 10^-12
Etotal = 7,674 times 10^-65,568 times 10^-11
Etotal approx 1,38 times 10^5 , N/C

Resposta

a) O campo elétrico no ponto P é aproximadamente 1,38 times 10^5 , N/C .
b) Para encontrar a força sobre um próton, usamos F = q cdot E . A carga de um próton é q = 1,60 times 10^-19 , C :
F = 1,60 times 10^-19 , C times 1,38 times 10^5 , N/C = 2,21 times 10^-14 , N
Portanto, a força resultante sobre o próton é aproximadamente 2,21 times 10^-14 , N .

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