Duas hastes não condutoras de
de comprimento se encontram em um ângulo reto e, com cargas uniformemente distribuídas ao longo de seus comprimentos. Uma haste possui
, e a outra possui
.
- Determine:
- a) O campo elétrico no ponto
;
- b) Se um próton for colocado no ponto
, qual a força resultante que essas hastes exercem sobre ele?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem duas hastes não condutoras de 1,20 metros cada, que se encontram formando um ângulo de 90 graus. Uma dessas hastes tem uma carga positiva de
e a outra tem uma carga negativa de
, distribuídas de forma uniforme ao longo de seus comprimentos. Nosso objetivo aqui é determinar:
a) O campo elétrico no ponto
;
b) A força que essas cargas exerceriam sobre um próton colocado no ponto
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, mais especificamente o cálculo do campo elétrico devido a distribuições contínuas de carga e a aplicação da segunda lei de Newton para encontrar a força.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o campo elétrico. O campo elétrico (
) é uma região ao redor de uma carga elétrica onde outra carga sofre uma força. Ele é definido como a força por unidade de carga, ou seja:
Onde:
-
é o campo elétrico, -
é a força, -
é a carga de prova.
No nosso caso, queremos encontrar o campo elétrico no ponto
devido às duas hastes carregadas.
Passo 3
Como as cargas estão distribuídas uniformemente ao longo das hastes, podemos modelar cada haste como uma distribuição linear de carga. A densidade linear de carga (
) é dada por:
Onde:
-
é a carga total, -
é o comprimento da haste.
Vamos calcular
para as hastes positiva e negativa.
Passo 4
Para a haste positiva:
Para a haste negativa:
Passo 5
Agora, vamos considerar o ponto
. Supondo que
seja o ponto onde as duas hastes se encontram (a origem do nosso sistema de coordenadas), precisamos calcular o campo elétrico devido a cada haste nesse ponto e depois somá-los vetorialmente.
Como as hastes estão em ângulo reto, vamos supor que uma está ao longo do eixo x e a outra ao longo do eixo y.
Passo 6
O campo elétrico devido a uma haste infinitesimal
com carga
a uma distância
é dado por:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo ( ), -
é o vetor unitário na direção de .
Mas nesse caso, como as hastes se encontram em
, precisamos integrar ao longo do comprimento das hastes.
Passo 7
Vamos calcular o campo elétrico total no ponto
somando os campos elétricos das duas hastes.
Para a haste positiva ao longo do eixo x:
Para a haste negativa ao longo do eixo y:
Onde
.
Passo 8
Resolvendo as integrais:
No entanto, essas integrais são impraticáveis devido à singularidade em
e
. Isso sugere que o ponto
está em uma posição diferente, provavelmente distante das hastes, o que simplifica os cálculos.
Passo 9
Vamos então considerar que o ponto
está a uma distância
de cada haste, em uma posição onde podemos aproximar o campo elétrico usando a fórmula para uma linha infinita de carga:
Assumindo que
é suficientemente grande em relação ao comprimento das hastes, podemos usar essa aproximação.
Passo 10
Com isso, os campos elétricos das duas hastes neste ponto
serão perpendiculares entre si, já que as hastes estão em ângulo reto.
Então, o campo resultante será a soma vetorial dos dois campos:
Passo 11
Substituindo os valores:
Como
, então:
Passo 12
Agora, vamos calcular
:
Simplificando:
Passo 13
Agora, precisamos do valor de
para calcular numericamente o campo elétrico. Como não foi fornecida uma distância específica, vamos assumir que
para exemplificar o cálculo.
Substituindo
:
Passo 14
Calculando os valores:
Resposta
a) O campo elétrico no ponto
é aproximadamente
.
b) Para encontrar a força sobre um próton, usamos
. A carga de um próton é
:
Portanto, a força resultante sobre o próton é aproximadamente
.