Se duas intensidades sonoras, em decibéis, diferem por De, mostre que a razão r entre as intensidades em Watts é 10^De.

Passo 1

A questão nos diz que duas intensidades sonoras têm níveis em decibéis que diferem em Δ e pede para achar a razão r entre as intensidades em Watts. O conteúdo é a escala de decibéis e vamos precisar da definição de nível sonoro:
Nível sonoro β em dB é dado por
β = 10 log10l(II0r)
onde I é a intensidade em Watts por metro quadrado e I_0 é uma intensidade de referência.

Passo 2

Sejam I_1 e I_2 as intensidades cujos níveis sonoros são β_1 e β_2, respectivamente. A diferença entre esses níveis é
Δ = β2 - β1
Usando a definição de β para cada intensidade, temos:
β2 = 10 log10l(I2I0r)
e
β1 = 10 log10l(I1I0r)

Passo 3

Subtraindo β_1 de β_2, obtemos:
Δ = 10 log10l(I2I0r) - 10 log10l(I1I0r)
Fatorando 10 e usando a propriedade dos logaritmos log a - log b = logab, resulta:
Δ = 10 l[log10l(I2I0r) - log10l(I1I0r)r] = 10 log10l(I2I1r)

Passo 4

Isolando o logaritmo, temos:
log10l(I2I1r) = Δ10
Aplicando a definição de antilogaritmo (potência de base 10):
I2I1 = 10^Δ10
Portanto, a razão entre as intensidades é r = I_2/I_1 = 10^{Δ/10}.

Resposta

r = 10^De

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