Se duas intensidades sonoras, em decibéis, diferem por
, mostre que a razão
entre as intensidades em Watts é
.
Passo 1
A questão nos diz que duas intensidades sonoras têm níveis em decibéis que diferem em Δ e pede para achar a razão r entre as intensidades em Watts. O conteúdo é a escala de decibéis e vamos precisar da definição de nível sonoro:
Nível sonoro β em dB é dado por
onde I é a intensidade em Watts por metro quadrado e I_0 é uma intensidade de referência.
Passo 2
Sejam I_1 e I_2 as intensidades cujos níveis sonoros são β_1 e β_2, respectivamente. A diferença entre esses níveis é
Usando a definição de β para cada intensidade, temos:
e
Passo 3
Subtraindo β_1 de β_2, obtemos:
Fatorando 10 e usando a propriedade dos logaritmos
, resulta:
Passo 4
Isolando o logaritmo, temos:
Aplicando a definição de antilogaritmo (potência de base 10):
Portanto, a razão entre as intensidades é r = I_2/I_1 = 10^{Δ/10}.