Duas linhas de transmissão longas e paralelas, separas por uma distância de
, carregam correntes de 25,0 A 5,0 A. Determine todos os locais em que o campo magnético uido de ambos os fios é igual a zero, caso essas correntes esam (a) no mesmo sentido e (b) em sentidos contrários.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas linhas de transmissão longas e paralelas, separadas por uma distância de
. Essas linhas estão carregando correntes de
e
. Precisamos encontrar todos os pontos onde o campo magnético gerado por ambas as linhas é igual a zero. Vamos resolver isso em duas situações:
a) Quando as correntes estão no mesmo sentido.
b) Quando as correntes estão em sentidos opostos.
b) Quando as correntes estão em sentidos opostos.
Para resolver esse problema, vamos usar a teoria do campo magnético gerado por uma linha de corrente infinita, que é dada pela fórmula:
Onde:
-
é o campo magnético. -
é a permeabilidade do vácuo ( ). -
é a intensidade da corrente. -
é a distância do ponto onde estamos calculando o campo à linha de corrente.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos considerar as duas linhas de transmissão como Linha 1 (com corrente
) e Linha 2 (com corrente
). A distância entre elas é
.
Queremos encontrar pontos onde o campo magnético total é zero. Isso significa que o campo magnético gerado pela Linha 1 (
) deve ser igual em magnitude ao campo magnético gerado pela Linha 2 (
), mas em direções opostas.
Passo 3
Vamos usar a fórmula do campo magnético para cada linha:
Onde
e
são as distâncias do ponto de interesse até a Linha 1 e Linha 2, respectivamente.
Para que o campo magnético total seja zero:
Ou seja:
Podemos simplificar cancelando os termos comuns:
Passo 4
Como as duas linhas estão separadas por
, podemos expressar uma variável em termos da outra. Vamos resolver para
:
Substituindo na equação anterior:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo
:
Reagrupando os termos com
:
Fatorando
:
Isolando
:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
Então:
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar
:
Passo 8
Agora, vamos interpretar os resultados para os dois casos:
a) Correntes no mesmo sentido:
Quando as correntes estão no mesmo sentido, os campos magnéticos gerados pelas duas linhas na região entre elas se opõem. O ponto onde os campos se anulam está mais próximo da linha com menor corrente, ou seja, a Linha 2 (
). Nesse caso, o ponto está a
da Linha 1 e a
da Linha 2.
b) Correntes em sentidos opostos:
Quando as correntes estão em sentidos opostos, os campos magnéticos gerados pelas duas linhas na região entre elas se somam. Nessa configuração, não há ponto entre as linhas onde os campos se anulam, pois os campos se reforçam. Os pontos onde o campo magnético total é zero estarão além das linhas, onde os campos de ambos se igualam em magnitude, mas em direções opostas.
Resposta
a) Quando as correntes estão no mesmo sentido, o campo magnético é zero em um ponto localizado a aproximadamente
da Linha 1 (com
) e a
da Linha 2 (com
).
b) Quando as correntes estão em sentidos opostos, não há ponto entre as linhas onde o campo magnético total seja zero. Os pontos onde o campo magnético se anula estão localizados fora do espaço entre as linhas.