Um rebatedor acerta uma bola de beisebol de modo que ela deixa o bastão na velocidade v0=37,0 m / s em um ângulo de 53,1^circ. Encontre a posição da bola e sua velocidade (magnitude e direção) em t=2,00 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos fala sobre um rebatedor que acerta uma bola de beisebol, fazendo com que ela saia do bastão com uma velocidade inicial de v0 = 37,0 m/s num ângulo de 53,1^circ. Nosso objetivo aqui é descobrir onde a bola estará e qual será a sua velocidade (tanto a magnitude quanto a direção) depois de 2,00 segundos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento de projéteis, que envolvem decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical, e então calcular a posição e a velocidade após um certo tempo. Vamos precisar lembrar como funciona a decomposição de vetores e as equações do movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial v0 nas suas componentes horizontal ( v0x) e vertical ( v0y). Isso é importante porque, na ausência de resistência do ar, o movimento horizontal é constante, e o movimento vertical é influenciado pela gravidade.
Usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para isso:
v0x = v0 cdot cos(theta)
v0y = v0 cdot sin(theta)
onde theta = 53,1^circ.

Passo 3

Vamos calcular v0x e v0y usando os valores dados:
v0x = 37,0 m/s cdot cos(53,1^circ) approx 37,0 m/s cdot 0,6 = 22,2 m/s
v0y = 37,0 m/s cdot sin(53,1^circ) approx 37,0 m/s cdot 0,8 = 29,6 m/s

Passo 4

Agora, vamos encontrar a posição da bola após 2,00 segundos. Para isso, usamos as equações do movimento para cada direção.
Na direção horizontal (x), o movimento é retilíneo uniforme, então a posição é:
x = v0x cdot t
Na direção vertical (y), o movimento é uniformemente variado devido à gravidade, então a posição é:
y = v0y cdot t - 12 g t^2
onde g = 9,8 m/s^2 é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Vamos calcular as posições x e y após 2,00 segundos:
x = 22,2 m/s cdot 2,00 s = 44,4 m
y = 29,6 m/s cdot 2,00 s - 12 cdot 9,8 m/s^2 cdot (2,00 s)^2 = 59,2 m - 19,6 m = 39,6 m

Passo 6

Agora, vamos determinar a velocidade da bola após 2,00 segundos. A componente horizontal da velocidade ( vx) permanece a mesma, pois não há aceleração na direção horizontal:
vx = v0x = 22,2 m/s
Já a componente vertical da velocidade ( vy) é afetada pela gravidade:
vy = v0y - g t = 29,6 m/s - 9,8 m/s^2 cdot 2,00 s = 29,6 m/s - 19,6 m/s = 10,0 m/s

Passo 7

Para achar a magnitude da velocidade total ( v) da bola após 2,00 segundos, usamos o teorema de Pitágoras para as componentes:
v = raizvx^2 + vy^2 = raiz(22,2)^2 + (10,0)^2 approx raiz493,8 + 100 approx raiz593,8 approx 24,4 m/s
Para encontrar a direção dessa velocidade, calculamos o ângulo phi em relação à horizontal:
phi = tan^-1(vyvx) = tan^-1(10,022,2) approx tan^-1(0,45) approx 24,2^circ

Resposta

Após 2,00 segundos, a bola estará na posição (44,4 m, 39,6 m) e terá uma velocidade de aproximadamente 24,4 m/s, direcionada a 24,2^circ acima da horizontal.

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