Em temperaturas muito baixas, o calor específico molar
de muitos sólidos é dado aproximadamente por
, em que
depende da substância considerada. Para o alumínio,
. Determine a variação de entropia de 4,00 mols de alumínio quando a temperatura aumenta de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como o calor específico molar $ C_V $ de sólidos, como o alumínio, varia com a temperatura em baixas temperaturas. A fórmula dada é $ C_V = A T^3 $, onde $ A $ é uma constante específica para cada material. No caso, para o alumínio, $ A = 3,15 \times 10^{25} , J / (mol \cdot K^4) $. Precisamos encontrar a variação de entropia para 4,00 mols de alumínio quando a temperatura aumenta de 5,00 K para 10,0 K. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente a relação entre calor específico e entropia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a variação de entropia ($ \Delta S $) em um processo onde a capacidade calorífica depende da temperatura pode ser calculada pela integral:
Aqui, $ T_i $ é a temperatura inicial (5,00 K) e $ T_f $ é a temperatura final (10,0 K).
Passo 3
Sabemos que $ C_V = A T^3 $. Substituindo isso na integral, temos:
Agora, vamos integrar $ A T^2 $ em relação a $ T $.
Passo 4
Integrando $ A T^2 $, obtemos:
Isso significa que calculamos $ \frac{A}{3} (T_f^3 - T_i^3) $.
Passo 5
Substituindo os valores de $ T_f = 10,0 , K $ e $ T_i = 5,00 , K $:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar pelo número de mols de alumínio, que é 4,00 mol. Então:
Substituindo $ A = 3,15 \times 10^{25} , J / (mol \cdot K^4) $:
Passo 7
Simplificando os cálculos:
Resposta
A variação de entropia é de $ 3,68 \times 10^{29} , J/K $.