Em temperaturas muito baixas, o calor específico molar CV de muitos sólidos é dado aproximadamente por CV=A T^3, em que A depende da substância considerada. Para o alumínio, A=3,15 times 10^25 J / mol cdot K^4. Determine a variação de entropia de 4,00 mols de alumínio quando a temperatura aumenta de 5,00 K para 10,0 K.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como o calor específico molar $ C_V $ de sólidos, como o alumínio, varia com a temperatura em baixas temperaturas. A fórmula dada é $ C_V = A T^3 $, onde $ A $ é uma constante específica para cada material. No caso, para o alumínio, $ A = 3,15 \times 10^{25} , J / (mol \cdot K^4) $. Precisamos encontrar a variação de entropia para 4,00 mols de alumínio quando a temperatura aumenta de 5,00 K para 10,0 K. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente a relação entre calor específico e entropia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a variação de entropia ($ \Delta S $) em um processo onde a capacidade calorífica depende da temperatura pode ser calculada pela integral:
De
Aqui, $ T_i $ é a temperatura inicial (5,00 K) e $ T_f $ é a temperatura final (10,0 K).

Passo 3

Sabemos que $ C_V = A T^3 $. Substituindo isso na integral, temos:
CV = A T^3
Agora, vamos integrar $ A T^2 $ em relação a $ T $.

Passo 4

Integrando $ A T^2 $, obtemos:
A T^2
Isso significa que calculamos $ \frac{A}{3} (T_f^3 - T_i^3) $.

Passo 5

Substituindo os valores de $ T_f = 10,0 , K $ e $ T_i = 5,00 , K $:
Tf = 10,0 , K

Passo 6

Agora, vamos multiplicar pelo número de mols de alumínio, que é 4,00 mol. Então:
De
Substituindo $ A = 3,15 \times 10^{25} , J / (mol \cdot K^4) $:
A = 3,15 times 10^25 , J / (mol cdot K^4)

Passo 7

Simplificando os cálculos:
De

Resposta

A variação de entropia é de $ 3,68 \times 10^{29} , J/K $.

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