Uma linha uniforme de cargas de densidade rhoL C / m no espaço livre estende-se ao longo do eixo z, de z=-h até z=h. (b) Encontre E em (0,0, a), a>h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma linha de carga uniforme com densidade linear ao longo do eixo , indo de até . A tarefa (parte b) é encontrar o campo elétrico no ponto , sendo .
Conteúdo que vamos usar:
  • Lei de Coulomb para o campo de um elemento de carga.
  • Princípio da superposição (somar infinitos “pedacinhos” de campo).
  • Simetria (o campo resultante só terá componente ao longo de ).
  • Cálculo de uma integral simples.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um pedacinho de linha de carga com comprimento dvec E = 14pivarepsilon0,dqr^2,hat r, e carga . Esse pedacinho está na posição , entre e . Pelo enunciado, queremos o campo no ponto .
De Coulomb, o campo de é
onde
  • é a distância entre e ,
  • é o vetor unitário de até o ponto.

Passo 3

Como r = |a - z'| está em dvec E = 14pivarepsilon0,rhoL,dz'(a - z')^2,hat k e o ponto está em dEz = rhoL4pivarepsilon0,dz'(a - z')^2 , a distância é
e aponta ao longo do eixo . Como , sempre , então e .
Substituindo e em Coulomb:
Como não há componente lateral (a simetria z-zinho cancela tudo fora de ), só cuidamos de :

Passo 4

Agora integramos Ez = integral-h^+h dEz = rhoL4pivarepsilon0 integral-h^+h dz'(a - z')^2 de ddz'!l(tfrac1a - z'r) = 1(a - z')^2 até integral-h^+h dz'(a - z')^2 = [1a - z']-h^+h = 1a - h ;-; 1a + h :
Para resolver , lembramos que
Logo a integral é

Passo 5

Colocando tudo junto:
Ez = rhoL4pivarepsilon0 l(1a - h - 1a + hr)
A gente simplifica o parêntese:
1a - h - 1a + h = (a + h) - (a - h)(a - h)(a + h) = 2ha^2 - h^2
Então
Ez = rhoL4pivarepsilon0,2ha^2 - h^2 = rhoL,h2pivarepsilon0,(a^2 - h^2)
E como só tem componente em vec E(0,0,a) = rhoL,h2pivarepsilon0,(a^2 - h^2),hat k ,

Resposta

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