Uma linha uniforme de cargas de densidade
no espaço livre estende-se ao longo do eixo
, de
até
. (b) Encontre
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma linha de carga uniforme com densidade linear
ao longo do eixo
, indo de
até
. A tarefa (parte b) é encontrar o campo elétrico
no ponto
, sendo
.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Lei de Coulomb para o campo de um elemento de carga.
- Princípio da superposição (somar infinitos “pedacinhos” de campo).
- Simetria (o campo resultante só terá componente ao longo de
). - Cálculo de uma integral simples.
Passo 2
Primeiro, escolhemos um pedacinho de linha de carga com comprimento
e carga
. Esse pedacinho está na posição
, entre
e
. Pelo enunciado, queremos o campo no ponto
.
De Coulomb, o campo de
é
onde
-
é a distância entre e , -
é o vetor unitário de até o ponto.
Passo 3
Como
está em
e o ponto está em
, a distância é
e
aponta ao longo do eixo
. Como
, sempre
, então
e
.
Substituindo
e
em Coulomb:
Como não há componente lateral (a simetria z-zinho cancela tudo fora de
), só cuidamos de
:
Passo 4
Agora integramos
de
até
:
Para resolver
, lembramos que
Logo a integral é
Passo 5
Colocando tudo junto:
A gente simplifica o parêntese:
Então
E como só tem componente em
,