Duas maquinas A e B produzem, respectivamente, 70 % e 30 % do total de peças de um determinado tipo. Para cada uma das maquinas A e B, o numero de peças defeituosas representam respectivamente 6 % e 4 % das peças produzidas pela maquina. A produção global das maquinas é misturado, foi selecionado ao acaso uma peça.
(a) Qual é a probabilidade que a peça não seja defeituosa?
(b) Se a peça resultou defeituosa, qual é probabilidade que tenha sido produzido pela máquina B?

Passo 1

O enunciado trata de duas máquinas A e B que produzem porcentagens diferentes do total de peças e têm taxas de defeito distintas. Precisamos aplicar a Lei da Probabilidade Total para encontrar a probabilidade de uma peça não ser defeituosa e, em seguida, usar o Teorema de Bayes para determinar a probabilidade de que uma peça defeituosa tenha vindo da máquina B.

Passo 2

Calcular a probabilidade de uma peça ser defeituosa, P(D), pela Lei da Probabilidade Total:
P(D) = P(A),P(Dmid A) + P(B),P(Dmid B)
Substituindo os valores:
P(D) = 0,7 times 0,06 + 0,3 times 0,04 = 0,042 + 0,012 = 0,054

Passo 3

A probabilidade de a peça não ser defeituosa é
P(D^c) = 1 - P(D) = 1 - 0,054 = 0,946

Passo 4

Para encontrar a probabilidade de que uma peça defeituosa venha da máquina B, usamos Bayes:
P(Bmid D) = P(B),P(Dmid B)P(D) = 0,3 times 0,040,054 = 0,0120,054 = 29 approx 0,2222

Resposta

(a) P(peça não defeituosa) = 0,946çã.
(b) P(B mid defeituosa) = tfrac29approx 0,2222.

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