Uma urna tem 20 bolas pretas e 30 brancas. Retiram-se 25 bolas com reposição. Qual a probabilidade que pelo menos 3 sejam pretas?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma urna com 20 bolas pretas e 30 brancas, e extraímos 25 bolas com reposição. A pergunta é: “qual a probabilidade de saírem pelo menos 3 bolas pretas?”. O conteúdo envolvido é Distribuição Binomial, pois cada retirada é um experimento de Bernoulli com sucesso “bola preta” e falha “bola branca”.

Passo 2

Definimos uma variável aleatória X como o número de bolas pretas obtidas em 25 retiradas com reposição. Aqui
n = 25
é o número de ensaios independentes, e
p = 2020+30 = 0,4
é a probabilidade de sucesso (tirar bola preta) em cada ensaio. Logo
X sim Binomial(n=25,,p=0,4)

Passo 3

Recordando a fórmula da Binomial, para k=0,1,2,dots,25 vale
P(X = k) ;=; binom25k,(0,4)^k,(1-0,4)^25-k
onde binom25k é o número de combinações de escolher k sucessos em 25 ensaios.

Passo 4

Queremos
P(X >= 3)
que complementa os casos X=0,1,2. Logo
P(X >= 3) ;=; 1 - P(X <= 2) ;=; 1 - l[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)r]

Passo 5

Substituindo cada termo:
P(X=0)=binom250(0,4)^0(0,6)^25, P(X=1)=binom251(0,4)^1(0,6)^24, P(X=2)=binom252(0,4)^2(0,6)^23
Portanto
P(X >= 3) =1 - sumk=0^2binom25k(0,4)^k(0,6)^25-k

Resposta

P(pelo menos 3 pretas) =1 - sumk=0^2binom25k(0,4)^k(0,6)^25-k

Exercícios relacionados