Em uma Indústria Eletrônica o tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 15 minutos, com um desvio padrão de no máximo 5 minutos. Introduziu-se uma modificação para diminuir esse tempo, e, após certo período, sorteou-se uma amostra de 36 operários e mediu-se o tempo de execução da cada um. A continuação apresenta-se a tabela de distribuição de freqüências incompleta com intervalos do mesmo comprimento desses dados.
Tempo de execução da tarefa Ponto médio Freqüência Absoluta ( |l|l|l|l| hline Tempo de execução da tarefa & Ponto médio & Freqüência Absoluta ( $N^circ$ de operários) & FreqAcumulada absoluta hline 4 --- & & 10 & hline --- & 9,85 & & 22 hline |--- & & 7 & hline |--- & & & 35 hline |--- & & 1 & hline & & & hline de operários) Freq.Acumulada absoluta
4 --- 10
--- 9,85 22
|--- 7
|--- 35
|--- 1
Considere em caso necessário S^2=19,99
(a) Complete a tabela de distribuição de freqüências
(b) Determine e interprete: (i) a freqüência relativa da quarta classe, (ii) a freqüência relativa acumulada da terceira classe.
(c) Com a modificação da tarefa houve a melhora desejada? Justifique.

Passo 1

Temos uma amostra de n=36 tempos, agrupados em 5 classes de mesma amplitude, com parte da tabela incompleta. Precisamos
– completar as frequências absolutas e acumuladas;
– descobrir a amplitude de classe (e, daí, os pontos médios) usando, se necessário, o fato de que S^2=19,99 para os dados agrupados;
– calcular (i) frequência relativa da 4ª classe e (ii) frequência relativa acumulada da 3ª classe;
– verificar se a média após a modificação ficou abaixo de 15 min (melhora).

Passo 2

Complete as frequências absolutas fi e as acumuladas Fi. Como
F2 =22, F1=f1=10implies f2=F2-F1=22-10=12,
F3=F2+f3=22+7=29,
F4=35implies f4=F4-F3=35-29=6,
F5=F4+f5=35+1=36
Logo:
(f1,f2,f3,f4,f5)=(10,12,7,6,1), (F1,dots,F5)=(10,22,29,35,36)

Passo 3

Para achar a amplitude de classe d, use a fórmula do desvio-padrão aproximado por pontos médios:
S^2=sum fi mi^2n-gl(sum fi mingr)^2
Chamando de m2=9,85 o ponto médio da 2ª classe e sabendo que os midpoints sucessivos distam d, obtém-se algebraicamente
S^2=2318,d^2Longrightarrow d=raiz1823,19,99approx3,96 (min)

Passo 4

Determinam-se os pontos médios:
m1 = m2 - d approx 9,85 - 3,96 = 5,89, m3 = m2 + d approx 13,81, m4 = m2 + 2d approx 17,76, m5 = m2 + 3d approx 21,72
A tabela completa fica então:
Intervalo | Ponto médio | fi | Fi
4 - 7,96 | 5,89 | 10 |
7,96 - 11,92 | 9,85 | 12 |
11,92 - 15,88 | 13,81 | 7 |
15,88 - 19,84 | 17,76 | 6 |
19,84 - 23,80 | 21,72 | 1 | 36

Passo 5

(i) Frequência relativa da 4ª classe:
f4n=636=0,1667
(ii) Frequência relativa acumulada da 3ª classe:
F3n=2936approx0,8056

Passo 6

A média amostral aproximada é
bar x=136sumi=1^5 fi mi =m2+d3approx9,85+3,963approx11,17 min
Como 11,17<15, houve de fato a melhora desejada.

Resposta

(a) f2=12, f4=6; F1=10, F2=22, F3=29, F4=35, F5=36. Amplitude dapprox3,96, pontos médios (5,89;,9,85;,13,81;,17,76;,21,72).
(b)(i) 0,1667; (ii) 0,8056.
(c) Sim. A média caiu para cerca de 11,17 min <15 min, logo a modificação melhorou o tempo.

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