1. Uma prova de concurso possui 50 questões independentes. Cada questão possui 5 alternativas. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um candidato resolver a prova respondendo a mesma alternativa para todas as questões, qual a probabilidade de acertar 50 % da prova?

Passo 1

O enunciado descreve uma prova com 50 questões independentes, cada uma com 5 alternativas e exatamente 1 correta. O candidato marca sempre a mesma alternativa em todas as questões, de modo que a chance de acertar cada questão é
p = tfrac15
Queremos a probabilidade de ele acertar exatamente 50% da prova, ou seja, exatamente 25 questões.

Passo 2

Cada questão pode ser vista como um ensaio de Bernoulli com sucesso (acerto) de probabilidade p=tfrac15 e fracasso de probabilidade 1-p=tfrac45. Como as questões são independentes, o número total de acertos X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=50 e p=tfrac15:
X sim Binl(n=50,;p=tfrac15r)

Passo 3

A fórmula da probabilidade de obter exatamente k sucessos em n ensaios de uma binomial é
P(X = k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k

Passo 4

Queremos k=25. Substituindo n=50, p=tfrac15 e k=25, obtemos
P(X=25) =binom5025l(tfrac15r)^25l(tfrac45r)^25

Resposta

boxedP(exatamente 25 acertos) = binom5025l(tfrac15r)^25l(tfrac45r)^25

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