Os registros de uma pequena empresa de fabricação de semicondutores indicam que 30 % das faturas expedidas são pagas após o vencimento. De 10 faturas emitidas, qual é a:
(a) Probabilidades de exatamente três sejam pagas com atraso?
(b) Probabilidades de no máximo nove faturas sejam pagas com atraso?
(c) A média e variância de faturas pagas com atraso?

Passo 1

O enunciado diz que, de 10 faturas emitidas, cada uma tem probabilidade p=0,3 de ser paga com atraso. Vamos modelar o número de faturas pagas com atraso por uma variável aleatória X com distribuição binomial de parâmetros n=10 e p=0,3. Precisamos achar:
(a) Pr(X=3)
(b) Pr(X<=9)
(c) a média E[X] e a variância Var(X).

Passo 2

Para (a), usamos a função massa de probabilidade da binomial:
Pr(X=k)=binomnkp^k(1-p)^n-k
Substituindo n=10, k=3, p=0,3 e 1-p=0,7, obtemos
Pr(X=3)=binom103(0,3)^3(0,7)^7

Passo 3

Para (b), “no máximo nove” significa X<=9. Como a soma de todas as probabilidades até 10 vale 1, basta tirar o termo X=10:
Pr(X<=9)=1-Pr(X=10) =1-binom1010(0,3)^10(0,7)^0 =1-(0,3)^10

Passo 4

Para (c), as fórmulas da binomial são
E[X]=np e Var(X)=np(1-p)
Com n=10 e p=0,3, temos
E[X]=10cdot0,3=3, Var(X)=10cdot0,3cdot0,7=2,1

Resposta

(a) Pr(X=3)= binom103(0,3)^3(0,7)^7
(b) Pr(X<=9)=1-(0,3)^10
(c) E[X]=3, Var(X)=2,1

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