Questão 2
Seja
o coeficiente adibático de um gás ideal. O número de graus de liberdade de uma molécula desse gás é igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá o coeficiente adiabático
de um gás ideal e pede: qual é o número de graus de liberdade de uma molécula desse gás?
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Está dado
(coeficiente adiabático). - O gás é um gás ideal.
- As alternativas são:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 2
Vamos entender o que é “número de graus de liberdade” e como ele se relaciona com a energia interna de um gás ideal — isso é a chave.
- “Graus de liberdade”
é o número de maneiras independentes que as partículas podem armazenar energia (translação, rotação, vibração, etc.). - Pelo teorema de equipartição da energia (aplicável ao gás ideal clássico), cada grau de liberdade contribui com uma energia média de
por molécula, ou por mol (onde é a constante de Boltzmann e a constante dos gases). - Para uma mole de gás com
graus de liberdade, a energia interna molar é, portanto,
Expliquei isso devagar: aqui
é a energia interna por mol,
temperatura; cada grau dá
, multiplicamos por
.
Passo 3
Agora relacionamos energia interna com a capacidade térmica molar a volume constante
.
Por definição,
Por definição,
Como
, derivando em relação a
(e lembrando que
e
são constantes) obtemos
Expliquei:
é quanto a energia interna muda por variação de temperatura — com mais graus de liberdade o gás armazena mais energia por grau de temperatura.
Passo 4
Relação entre
e
(Mayer) para gás ideal:
- A entalpia molar é
. Para uma mole de gás ideal, . - Logo
e, diferenciando em ,
Substituindo
, obtemos
De novo:
é maior que
porque, ao aquecer a pressão constante, parte da energia vai para trabalho de expansão (
por mol).
Passo 5
Definição do coeficiente adiabático:
Substituindo as expressões em termos de
:
Agora resolvendo essa equação para
: multiplicando ambos os lados por
,
Isolando
,
Passo 6
Finalmente, isolando
da última equação:
Portanto, o número de graus de liberdade da molécula é
. Observação rápida e prática para a prova: sempre que ver
e pedirem
, use
,
, depois
e algebra simples — isso resolve rápido.
Resposta
(A)