Questão 2

Seja \gamma o coeficiente adibático de um gás ideal. O número de graus de liberdade de uma molécula desse gás é igual a:
(A) 2 /(\gamma-1)
(B) 25(\gamma-1) / 2
(C) (3+2 \gamma) /(\gamma-1)
(D) 2(\gamma-1)
(E) \gamma^{2} /(\gamma-2)

Passo 1

O enunciado dá o coeficiente adiabático \gamma de um gás ideal e pede: qual é o número de graus de liberdade de uma molécula desse gás?
Informações relevantes dadas:
  • Está dado \gamma (coeficiente adiabático).
  • O gás é um gás ideal.
  • As alternativas são:
    (A) \displaystyle \tfrac{2}{\gamma-1}
    (B) \displaystyle \tfrac{25(\gamma-1)}{2}
    (C) \displaystyle \tfrac{3+2\gamma}{\gamma-1}
    (D) \displaystyle 2(\gamma-1)
    (E) \displaystyle \tfrac{\gamma^{2}}{\gamma-2}

Passo 2

Vamos entender o que é “número de graus de liberdade” e como ele se relaciona com a energia interna de um gás ideal — isso é a chave.
  • “Graus de liberdade” f é o número de maneiras independentes que as partículas podem armazenar energia (translação, rotação, vibração, etc.).
  • Pelo teorema de equipartição da energia (aplicável ao gás ideal clássico), cada grau de liberdade contribui com uma energia média de \tfrac{1}{2}k_B T por molécula, ou \tfrac{1}{2}R T por mol (onde k_B é a constante de Boltzmann e R a constante dos gases).
  • Para uma mole de gás com f graus de liberdade, a energia interna molar U é, portanto,
U = \frac{f}{2} R T.
Expliquei isso devagar: aqui U é a energia interna por mol, T temperatura; cada grau dá \tfrac{1}{2}RT, multiplicamos por f.

Passo 3

Agora relacionamos energia interna com a capacidade térmica molar a volume constante C_V.
Por definição,
C_V = \left(\frac{dU}{dT}\right)_{V}.
Como U = \dfrac{f}{2}RT, derivando em relação a T (e lembrando que R e f são constantes) obtemos
C_V = \frac{f}{2} R.
Expliquei: C_V é quanto a energia interna muda por variação de temperatura — com mais graus de liberdade o gás armazena mais energia por grau de temperatura.

Passo 4

Relação entre C_P e C_V (Mayer) para gás ideal:
  • A entalpia molar é H = U + PV. Para uma mole de gás ideal, PV = RT.
  • Logo H = U + RT e, diferenciando em T,
C_P = \left(\frac{dH}{dT}\right)_P = \frac{dU}{dT} + R = C_V + R.
Substituindo C_V = \dfrac{f}{2}R, obtemos
C_P = \frac{f}{2}R + R = \frac{f+2}{2}R.
De novo: C_P é maior que C_V porque, ao aquecer a pressão constante, parte da energia vai para trabalho de expansão ( R por mol).

Passo 5

Definição do coeficiente adiabático:
\gamma = \frac{C_P}{C_V}.
Substituindo as expressões em termos de f:
\gamma = \frac{\dfrac{f+2}{2}R}{\dfrac{f}{2}R} = \frac{f+2}{f}.
Agora resolvendo essa equação para f: multiplicando ambos os lados por f,
\gamma f = f + 2.
Isolando f,
f(\gamma - 1) = 2.

Passo 6

Finalmente, isolando f da última equação:
f = \frac{2}{\gamma - 1}.
Portanto, o número de graus de liberdade da molécula é \displaystyle \frac{2}{\gamma-1}. Observação rápida e prática para a prova: sempre que ver \gamma e pedirem f, use C_V=\tfrac{f}{2}R, C_P=C_V+R, depois \gamma=C_P/C_V e algebra simples — isso resolve rápido.

Resposta

(A) \displaystyle \frac{2}{\gamma-1}

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