Para os tempos de reação de 20 motoristas, encontrou-se uma média de 0,83 segundos e um desvio-padrão de 0,20 segundos. Determine um intervalo de
de confiança para o tempo médio de reação de todos os motoristas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, mais especificamente sobre intervalo de confiança. O enunciado diz que para 20 motoristas, a média do tempo de reação foi de 0,83 segundos com um desvio-padrão de 0,20 segundos. A missão aqui é determinar um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de reação de todos os motoristas. Ou seja, queremos saber entre quais valores esse tempo médio provavelmente está, com 95% de certeza.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que, com um certo nível de confiança (nesse caso, 95%), contém o verdadeiro valor da média da população. Como temos uma amostra pequena (20 motoristas) e desconhecemos o desvio-padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para calcular esse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular o erro padrão da média (SE). O erro padrão nos dá uma ideia de quanto a média da amostra pode variar em relação à verdadeira média da população. A fórmula é:
Onde:
- $ s $ é o desvio-padrão da amostra (0,20 segundos)
- $ n $ é o tamanho da amostra (20)
Então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para um intervalo de confiança de 95% com $ n - 1 $ graus de liberdade. No nosso caso, $ df = 20 - 1 = 19 $.
Consultando a tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico para 95% de confiança e 19 graus de liberdade é aproximadamente 2,093.
Passo 5
Com o erro padrão e o valor t em mãos, podemos calcular o intervalo de confiança usando a fórmula:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média da amostra (0,83 segundos)
- $ t $ é o valor crítico (2,093)
- $ SE $ é o erro padrão (0,0447)
Fazendo as contas:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de reação de todos os motoristas é aproximadamente entre 0,74 segundos e 0,92 segundos.