Duas máquinas são utilizadas no enchimento de um produto em frascos de plásticos. O departamento de controle de qualidade suspeita que ambas as máquinas têm igual performance quanto ao processo de enchimento. Duas amostras são observadas, obtendo-se os seguintes resultados:
Máquina n \bar{x} s
A 10 28,040 0,032
B 12 28,005 0,018
Utilizando estas informações o que você pode dizer em relação a suspeita do departamento de controle de qualidade?

Passo 1

O enunciado nos dá duas amostras independentes de duas máquinas de enchimento, com
Máquina A: n_A=10, \bar x_A=28,040, s_A=0,032
Máquina B: n_B=12, \bar x_B=28,005, s_B=0,018
O departamento suspeita que as médias de enchimento são iguais, ou seja
H_0:\mu_A=\mu_B \quad\text{versus}\quad H_1:\mu_A\neq\mu_B.
Para decidir, vamos primeiro verificar se podemos assumir variâncias iguais (teste de variância) e depois usar o teste t de duas amostras para diferença de médias.

Passo 2

Teste de igualdade de variâncias: calculamos
s_A^2=(0,032)^2=0,001024, \quad s_B^2=(0,018)^2=0,000324,
F_{\rm calc}=\frac{s_A^2}{s_B^2}=\frac{0,001024}{0,000324}\approx3{,}16.
Com graus de liberdade \nu_1=9 e \nu_2=11, o valor crítico para um teste bilateral ao nível \alpha=0{,}05 é aproximadamente
F_{0{,}975}(9,11)\approx3{,}3, \quad \frac1{F_{0{,}975}(11,9)}\approx0{,}30.
Como 0{,}30 < 3{,}16 < 3{,}3, não rejeitamos H_0 de variâncias iguais.

Passo 3

Cálculo da variância agrupada (pooled variance)
s_p^2 =\frac{(n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2}{n_A+n_B-2} =\frac{9\cdot0{,}001024+11\cdot0{,}000324}{20} =0{,}000639,
s_p=\sqrt{0{,}000639}\approx0{,}02528.

Passo 4

Cálculo do estatístico t:
\mathrm{SE}=\;s_p\sqrt{\frac1{n_A}+\frac1{n_B}} =0{,}02528\,\sqrt{0{,}1+0{,}0833} \approx0{,}01083,
t_{\rm calc} =\frac{\bar x_A-\bar x_B}{\mathrm{SE}} =\frac{28{,}040-28{,}005}{0{,}01083} \approx3{,}23,
com 20 graus de liberdade.

Passo 5

Para \alpha=0{,}05 bilateral, o valor crítico é
t_{0{,}975}(20)\approx2{,}086.
Como \lvert t_{\rm calc}\rvert=3{,}23>2{,}086, rejeitamos H_0.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%. Há evidência estatística de que as médias de enchimento são diferentes (a máquina A enche em média mais que a B), de modo que a suspeita de performance igual não procede.

Exercícios relacionados