A precipitação pluviométrica de numa certa região tem desvio padrão e média desconhecidos. No último mês, foram obtidos os seguintes índices pluviométricos (em m m ) nos 9 pontos de medição.
\begin{array}{llllllll}12,2 & 13,2 & 11,2 & 13,7 & 10,8 & 12,1 & 11,4 & 12,2\end{array} \quad 10,3
a) Definir as hipóteses nula e alternativa adequadas para comparar os resultados com os registros históricos da região que é de 11 mm se a variância for de \sigma^{2}=1,69.
b) Qual a estatística teste a ser usada para testar a hipótese em (a)?
c) Encontrar a região critica para a estatística definida em (b), com nível de significância \alpha=0,05.
d) Calcular o valor p do teste.
e) Refaça o teste considerando variância desconhecida. O que mudou?

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=9 com índices pluviométricos
12{,}2,\;13{,}2,\;11{,}2,\;13{,}7,\;10{,}8,\;12{,}1,\;11{,}4,\;12{,}2,\;10{,}3
e nos informa que o registro histórico da média é \mu_0=11 mm. Vamos testar se a média da chuva no mês difere de 11 mm. Para isso, quando a variância for conhecida usamos o teste-Z; quando for desconhecida, usamos o teste-t de Student.

Passo 2

a) Definimos as hipóteses
H_0:\mu = 11 \qquad H_1:\mu \neq 11.
b) Como a variância populacional é conhecida \sigma^2=1{,}69, a estatística de teste é
Z \;=\;\frac{\overline X - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.

Passo 3

c) Para nível de significância \alpha=0{,}05 e teste bilateral, a região crítica é
\bigl\{\,|Z| > z_{1-\alpha/2}\bigr\} \quad\text{com}\quad z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}975}=1{,}96.

Passo 4

d) Calculamos a média amostral
\overline X = \frac{12{,}2 + 13{,}2 + \cdots + 10{,}3}{9} = 11{,}9.
Logo
Z = \frac{11{,}9 - 11}{\sqrt{1{,}69/9}} = \frac{0{,}9}{1{,}3/3} \approx 2{,}08.
O p-valor do teste bilateral é
p = 2\bigl[1 - \Phi(2{,}08)\bigr] \approx 2\,(1 - 0{,}9812) \approx 0{,}038.

Passo 5

e) Se a variância é desconhecida, usamos
T = \frac{\overline X - \mu_0}{S/\sqrt{n}},
onde
S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2 \approx \frac{9{,}66}{8} =1{,}2075, \quad S\approx1{,}10.
Assim
T = \frac{0{,}9}{1{,}10/\sqrt{9}} \approx2{,}45,
com n-1=8 graus de liberdade. A região crítica para \alpha=0{,}05 é \bigl\{|T|>t_{0{,}975,8}\bigr\} com t_{0{,}975,8}\approx2{,}306, e o p-valor fica
p = 2\bigl[1 - F_{t_8}(2{,}45)\bigr] \approx0{,}04.
O que mudou foi que agora estimamos \sigma pela variância amostral S^2 e usamos a distribuição t em vez de Z.

Resposta

a)
H_0:\mu = 11, \quad H_1:\mu \neq 11.
b)
Z = \frac{\overline X - 11}{\sigma/\sqrt{9}}.
c)
\text{RC: }|Z| > 1{,}96.
d) \overline X = 11{,}9,\;Z\approx2{,}08,\;p\approx0{,}038.
e)
T = \frac{\overline X - 11}{S/\sqrt{9}}\approx2{,}45, \quad \text{RC: }|T|>2{,}306,\quad p\approx0{,}04.

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