Numa pesquisa a respeito da estatura de recém-nascidos foi observada uma amostra com 21 bebês, tendo sido observados os resultados abaixo. Valores históricos indicam que a estatura média das crianças é de 51 cm com variância 19,7 \mathrm{~cm}^{2}. Verifique se há como afirmar que a estatura das crianças nascidas neste hospital mudou (aumentando ou diminuindo).
Dados: \Sigma x=1039,5 e \Sigma x^{2}=51881,25
a) Formule as hipóteses para os testes unicaudal e bicaudal.
b) Escolha um dos dois testes e calcule o valor p.
c) Qual a conclusão a respeito do tamanho dos bebes?
d) Qual o menor tamanho da amostra para que a conclusão seja oposta? (use \alpha=0,05 )
e) Com este tamanho de amostra, qual o novo valor p ?
f) Refaça os itens (d) e (e) considerando \alpha=0,01.

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipóteses para a média da estatura de recém-nascidos, usando a variância histórica conhecida \sigma^2=19,7\\ \mathrm{cm}^2. Temos n=21, \sum x=1039,5, logo a média amostral é
\bar x = \frac{1039,5}{21}=49,5\\ \mathrm{cm}.
Como \sigma^2 é conhecida, usaremos o teste z para a média.

Passo 2

Formulamos as hipóteses para:
Unicaudal de aumento:
H_0:\mu=51,\quad H_1:\mu>51.
Unicaudal de diminuição:
H_0:\mu=51,\quad H_1:\mu<51.
Bicaudal (mudança em qualquer direção):
H_0:\mu=51,\quad H_1:\mu\neq51.

Passo 3

Vamos ao teste bicaudal. A estatística é
z = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{49,5 - 51}{\sqrt{19,7}/\sqrt{21}} = \frac{-1,5}{\sqrt{19,7/21}} \approx -1,55.
O valor- p bicaudal é
p = 2\,\Phi(-|z|)\approx 2\;\Phi(-1,55)\approx2\,(0,0606)\approx0,1212.

Passo 4

Como p\approx0,12>0,05, não rejeitamos H_0. Conclusão: não há evidência de que a estatura média tenha mudado.

Passo 5

Queremos o menor n tal que, com os mesmos \bar x=49,5 e \sigma^2=19,7, o teste bicaudal rejeite a \alpha=0,05. Precisamos de
|z| = \frac{1,5}{\sqrt{19,7/n}}\ge z_{0,025}=1,96 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{n}\ge \frac{1,96\sqrt{19,7}}{1,5} \approx5,80 \quad\Longrightarrow\quad n\ge5,80^2\approx33,7.
Logo n_{\min}=34.

Passo 6

Com n=34,
z = \frac{-1,5}{\sqrt{19,7/34}}\approx -1,97,
p = 2\,\Phi(-1,97)\approx2\,(0,0244)\approx0,0488.

Passo 7

Agora \alpha=0,01. O crítico bicaudal é z_{0,005}=2,5758. Igualando,
\sqrt{n}\ge \frac{2,5758\sqrt{19,7}}{1,5}\approx7,63 \quad\Longrightarrow\quad n\ge7,63^2\approx58,2,
portanto n_{\min}=59. Com n=59:
z=\frac{-1,5}{\sqrt{19,7/59}}\approx -2,595,
p = 2\,\Phi(-2,595)\approx2\,(0,00474)\approx0,00948.

Resposta

(a) Unicaudal de aumento: \;H_0:\mu=51, H_1:\mu>51.
Unicaudal de diminuição: \;H_0:\mu=51, H_1:\mu<51.
Bicaudal: \;H_0:\mu=51, H_1:\mu\neq51.
(b) Escolhendo o teste bicaudal, z\approx -1,55 e p\approx0,12.
(c) Como p>0,05, não rejeitamos H_0: não há mudança significativa.
(d) Para \alpha=0,05 bicaudal, n_{\min}=34.
(e) Com n=34, p\approx0,0488.
(f) Para \alpha=0,01 bicaudal, n_{\min}=59 e então p\approx0,00948.

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