Duas massas m1 e m2 presas cada qual a uma corda de massa desprezível giram em órbitas circulares de mesma frequência angular uniforme em um plano horizontal sem atrito. respectivamente com raios r1 e r2=r1/2. Onde m1 gira no sentido horário e m 2 gira em sentido anti-horário, respectivamente com raios r1 e r2=r1/2. Em certo instante essas massas colidem-se frontal e elasticamente e cada qual volta a perfazer um movimento circular uniforme em sentido contrário. A soma das velocidades tangenciais v1 e v2 é igual a duas vezes a velocidade das massas após o choque, sendo iguais os módulos das velocidades de m1 e m 2 após o choque, calcule a massa de m 2 sabendo que m 1= 57,14 g

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas massas, m1 e m2 , que giram em círculos com a mesma frequência angular em um plano sem atrito. A gente precisa descobrir a massa de m2 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme, colisão elástica e conservação do momento angular. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender as velocidades das massas antes da colisão. Como elas estão girando com a mesma frequência angular omega , as velocidades tangenciais são dadas por:
v1 = omega r1 e v2 = omega r2
Sabemos que r2 = r12 , então:
v2 = omega ( r12 ) = omega r12 = v12

Passo 3

Agora, na colisão frontal e elástica, ocorre uma troca de direções. As velocidades após a colisão serão -v'1 e -v'2 (invertidas). Como a colisão é elástica, a energia cinética e o momento angular são conservados.

Passo 4

Vamos usar a conservação do momento angular. Antes da colisão, o momento angular total é:
Lantes = m1 v1 r1 - m2 v2 r2
O sinal negativo para m2 porque ele gira no sentido oposto.
Após a colisão, as velocidades são invertidas:
Ldepois = m1 (-v'1) r1 - m2 (-v'2) r2 = -m1 v'1 r1 + m2 v'2 r2
Como a colisão é elástica, Lantes = Ldepois :
m1 v1 r1 - m2 v2 r2 = -m1 v'1 r1 + m2 v'2 r2

Passo 5

Também sabemos que a soma das velocidades tangenciais após a colisão é igual a duas vezes a velocidade das massas após o choque:
v'1 + v'2 = 2v'
E que os módulos das velocidades são iguais:
v'1 = v'2 = v'
Portanto:
v'1 + v'2 = 2v' = 2v'
Isso confirma que v'1 = v'2 = v' .

Passo 6

Agora, aplicando a conservação do momento angular:
m1 v1 r1 - m2 v2 r2 = -m1 v' r1 + m2 v' r2
Substituindo v2 = v12 e r2 = r12 :
m1 v1 r1 - m2 ( v12 ) ( r12 ) = -m1 v' r1 + m2 v' ( r12 )
Simplificando:
m1 v1 r1 - m2 v1 r14 = -m1 v' r1 + m2 v' r12

Passo 7

Podemos dividir toda a equação por r1 para simplificar:
m1 v1 - m2 v14 = -m1 v' + m2 v'2
Fatorando v1 e v' :
v1 ( m1 - m24 ) = v' ( -m1 + m22 )

Passo 8

A colisão é elástica, então a energia cinética também é conservada:
12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2 = 12 m1 v'^2 + 12 m2 v'^2
Substituindo v2 = v12 :
12 m1 v1^2 + 12 m2 ( v12 )^2 = 12 (m1 + m2) v'^2
Simplificando:
12 m1 v1^2 + m2 v1^28 = 12 (m1 + m2) v'^2

Passo 9

Agora, podemos resolver esse sistema de equações para encontrar m2 . Mas, para simplificar, vamos usar a relação fornecida no enunciado:
A soma das velocidades tangenciais v1 + v2 = 2v' . Sabemos que v2 = v12 , então:
v1 + v12 = 2v' implies 3v12 = 2v' implies v' = 3v14

Passo 10

Voltando à equação do momento angular:
v1 ( m1 - m24 ) = 3v14 ( -m1 + m22 )
Cancelando v1 dos dois lados:
m1 - m24 = 34 ( -m1 + m22 )
Distribuindo o 34 :
m1 - m24 = -3m14 + 3m28

Passo 11

Multiplicando toda a equação por 8 para eliminar os denominadores:
8m1 - 2m2 = -6m1 + 3m2
Reagrupando os termos:
8m1 + 6m1 = 3m2 + 2m2 implies 14m1 = 5m2
Então:
m2 = 14m15

Passo 12

Finalmente, substituindo m1 = 57,14 , g :
m2 = 14 times 57,145 = 8005 = 160 , g

Resposta

A massa de m2 é 160 gramas.

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