Duas massas m1 e m2 presas cada qual a uma corda de massa desprezível giram em órbitas circulares de mesma frequência angular uniforme em um plano horizontal sem atrito. respectivamente com raios r1 e r2=r1/2. Onde m1 gira no sentido horário e m 2 gira em sentido anti-horário, respectivamente com raios r1 e r2=r1/2. Em certo instante essas massas colidem-se frontal e elasticamente e cada qual volta a perfazer um movimento circular uniforme em sentido contrário. A soma das velocidades tangenciais v1 e v2 é igual a duas vezes a velocidade das massas após o choque, sendo iguais os módulos das velocidades de m1 e m 2 após o choque, calcule a massa de m 2 sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas massas,
e
, que giram em círculos com a mesma frequência angular em um plano sem atrito. A gente precisa descobrir a massa de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme, colisão elástica e conservação do momento angular. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender as velocidades das massas antes da colisão. Como elas estão girando com a mesma frequência angular
, as velocidades tangenciais são dadas por:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, na colisão frontal e elástica, ocorre uma troca de direções. As velocidades após a colisão serão
e
(invertidas). Como a colisão é elástica, a energia cinética e o momento angular são conservados.
Passo 4
Vamos usar a conservação do momento angular. Antes da colisão, o momento angular total é:
O sinal negativo para
porque ele gira no sentido oposto.
Após a colisão, as velocidades são invertidas:
Como a colisão é elástica,
:
Passo 5
Também sabemos que a soma das velocidades tangenciais após a colisão é igual a duas vezes a velocidade das massas após o choque:
E que os módulos das velocidades são iguais:
Portanto:
Isso confirma que
.
Passo 6
Agora, aplicando a conservação do momento angular:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 7
Podemos dividir toda a equação por
para simplificar:
Fatorando
e
:
Passo 8
A colisão é elástica, então a energia cinética também é conservada:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, podemos resolver esse sistema de equações para encontrar
. Mas, para simplificar, vamos usar a relação fornecida no enunciado:
A soma das velocidades tangenciais
. Sabemos que
, então:
Passo 10
Voltando à equação do momento angular:
Cancelando
dos dois lados:
Distribuindo o
:
Passo 11
Multiplicando toda a equação por 8 para eliminar os denominadores:
Reagrupando os termos:
Então:
Passo 12
Finalmente, substituindo
:
Resposta
A massa de
é 160 gramas.