Duas moedas são lançadas. Sejam os eventos:
: cara no primeiro lançamento
: cara no segundo lançamento
: mesma face nos dois lançamentos
Seja a ocorrência de cara e coroa por H e T respectivamente, os eventos
e
são independentes?
Seja a ocorrência de cara e coroa por H e T respectivamente, os eventos
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas moedas que são lançadas, e queremos analisar a independência de três eventos:
-
: obter cara no primeiro lançamento. -
: obter cara no segundo lançamento. -
: obter a mesma face nos dois lançamentos (ou duas caras ou duas coroas).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa eventos independentes na probabilidade e como calcular probabilidades de eventos conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todos os possíveis resultados dos lançamentos das duas moedas. Cada moeda pode cair em cara (H) ou coroa (T), então temos:
- HH
- HT
- TH
- TT
Cada um desses quatro resultados tem a mesma probabilidade de ocorrer, que é
.
Passo 3
Agora, vamos definir os eventos:
-
: obter cara no primeiro lançamento. Olhando para os resultados, isso acontece nos casos HH e HT. Então, . -
: obter cara no segundo lançamento. Isso ocorre nos casos HH e TH. Portanto, . -
: obter a mesma face nos dois lançamentos, ou seja, HH ou TT. Assim, .
Passo 4
Agora, vamos verificar se os eventos são independentes. Dois eventos são independentes se a probabilidade da interseção deles for igual ao produto das probabilidades individuais:
Para três eventos, a independência exige que qualquer par de eventos seja independente e que todos os três ocorram juntos de forma independente.
Passo 5
Vamos verificar as interseções:
-
: ocorre apenas no caso HH, então . Verificando o produto: . Até aqui, parece independente. -
: ocorre no caso HH, então . O produto: . Também independente. -
: novamente, ocorre no caso HH, então . O produto: . Independente também.
Agora, vamos verificar a independência dos três eventos juntos:
E o produto das probabilidades individuais:
Como
, os três eventos juntos não são independentes.
Resposta
Os eventos
,
e
não são independentes.