Duas moedas são lançadas. Sejam os eventos:
A1 : cara no primeiro lançamento
A2 : cara no segundo lançamento
A3 : mesma face nos dois lançamentos
Seja a ocorrência de cara e coroa por H e T respectivamente, os eventos A1, A2 e A3 são independentes?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas moedas que são lançadas, e queremos analisar a independência de três eventos:
  • A1: obter cara no primeiro lançamento.
  • A2: obter cara no segundo lançamento.
  • A3: obter a mesma face nos dois lançamentos (ou duas caras ou duas coroas).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa eventos independentes na probabilidade e como calcular probabilidades de eventos conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os possíveis resultados dos lançamentos das duas moedas. Cada moeda pode cair em cara (H) ou coroa (T), então temos:
  1. HH
  2. HT
  3. TH
  4. TT
Cada um desses quatro resultados tem a mesma probabilidade de ocorrer, que é 14.

Passo 3

Agora, vamos definir os eventos:
  • A1: obter cara no primeiro lançamento. Olhando para os resultados, isso acontece nos casos HH e HT. Então, P(A1) = 24 = 12.
  • A2: obter cara no segundo lançamento. Isso ocorre nos casos HH e TH. Portanto, P(A2) = 24 = 12.
  • A3: obter a mesma face nos dois lançamentos, ou seja, HH ou TT. Assim, P(A3) = 24 = 12.

Passo 4

Agora, vamos verificar se os eventos são independentes. Dois eventos são independentes se a probabilidade da interseção deles for igual ao produto das probabilidades individuais:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Para três eventos, a independência exige que qualquer par de eventos seja independente e que todos os três ocorram juntos de forma independente.

Passo 5

Vamos verificar as interseções:
  • P(A1 cap A2): ocorre apenas no caso HH, então P(A1 cap A2) = 14. Verificando o produto: P(A1) times P(A2) = 12 times 12 = 14. Até aqui, parece independente.
  • P(A1 cap A3): ocorre no caso HH, então P(A1 cap A3) = 14. O produto: P(A1) times P(A3) = 12 times 12 = 14. Também independente.
  • P(A2 cap A3): novamente, ocorre no caso HH, então P(A2 cap A3) = 14. O produto: P(A2) times P(A3) = 12 times 12 = 14. Independente também.
Agora, vamos verificar a independência dos três eventos juntos:
P(A1 cap A2 cap A3) = P(HH) = 14.
E o produto das probabilidades individuais:
P(A1) times P(A2) times P(A3) = 12 times 12 times 12 = 18.
Como 14 neq 18, os três eventos juntos não são independentes.

Resposta

Os eventos A1, A2 e A3 não são independentes.

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